Метод хорд

Метод половинного деления

Функция непрерывна на отрезке [a,b] и имеет на его концах разные знаки. Известно, что на отрезке [a,b] функция имеет только один нуль, т.е. корень уравнения один.

Отрезок [a,b] делится пополам x1=(a+b)/2, если , это корень уравнения. Если нет, то выбираем тот из отрезков [a,x1] или [x1,b], на концах которого функция имеет разный знак. Полученный отрезок снова делится пополам, и проводятся те же рассуждения. Продолжаем до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданного ε.

Идея метода хорд заключается в том, что можно, с известным приближением, допустить, что функция на достаточно малом участке [a,b] изменяется линейно. Тогда кривую y=f(x) на участке [a,b] можно заменить хордой и в качестве приближенного значения корня принять точку пересечения хорды с осью абсцисс.

Угловой коэффициент хорды , тогда уравнение хорды .

Коэффициент m можно определить, например из условия, что при x=a хорда должно выполняться равенство y=f(a). Тогда , откуда , и уравнение хорды принимает вид . Тогда абсцисса точки пересечения хорды с осью Ox (y=0) . Это и есть формула приближенного значения корня, полученного по методу хорд. Иногда удобнее отправится из точки b, тогда формула будет выглядеть так . Эти две формулы тождественны.

Полученное значение x₁ можно использовать для вычисления следующего уточнения корня по методу хорд, рассматривая либо интервал [a,x₁], либо [x₁,b], смотря по тому в каком из них лежит истинный корень (т.е. на концах которого функция меняет знак).

Метод Ньютона (касательных)

Функция , причем f΄(x) и f˝(x) определены, непрерывны и сохраняют постоянные знаки на отрезке [a,b].

Например как функция:

f(x) =x-2+sin(1/x) f΄(x)=1-cos(1/x)/x^2 f˝(x)=-(sin(1/x)-2*x*cos(1/x))/x^4

на отрезке [1.2,2]

Выбирается некоторая точка x₀ на отрезке [a,b] таким образом, что значение функции и ее второй производной имеют одинаковый знак, и строится касательная к графику функции в точке [x₀,f(x₀)]. Уравнение касательной имеет вид

y-f(x₀)=f′(x₀)*(x-x₀).

Точка пересечения касательной с осью абсцисс (y=0) , далее ищется точка пересечения с осью абсцисс касательной построенной к графику функции в точке [x₁,f(x₁)] и т.д., т.е. последовательно вычисляются:

Процесс последовательных приближений по методу Ньютона.

Если начальное приближение x₀ выбрано таким образом, что f(x₀)*f˝(x₀) >0, то сходимость метода Ньютона обеспечена (т.е. сходимость x₁, x₂, …, x_n к корню уравнения).

Если корень вычисляется с точностью до ε , то процесс вычислений следует прекратить, когда

,

где m1 - наименьшее значение |f΄(x)| и на [a,b],

M2 - наибольшее значение |f˝(x)| на [a,b].

При этом выполняется , где ε – заданная предельная абсолютная погрешность корня x^*.

Если , то верно