Элементарные функции

Функция называется явной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной; например, функция у = х² + 5х +1.

Функция у аргумента х называется неявной, если она задана уравнением F(x, у) = 0, не разрешенным относительно зависимой переменной. Например, функция у (у ³ 0), заданная уравнением х³ + у² - х = 0.

Обратная функция.Пусть y = f (х) есть функция от независимой переменной х, определенной на множестве X с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому уÎY единственное значение хÎX, при котором f(х) = у. Тогда полученная функция х = j(у), определенная на множестве У с областью значений X, называется обратной.

Так как традиционно независимую переменную обозначают через х, а функцию через у, то функция, обратная к функции у=f(x), примет вид у=j(х). Обратную функцию у=j(х) обозначают также в виде у =f^-1(x) (аналогично с обозначением обратной величины).

Например, для функции у = а^х обратной будет функция y = log_a x.

Можно доказать, что для любой строго монотонной функции у=j(х) существует обратная функция.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (на рис. 5 показаны графики взаимно обратных функций у =а^х и у = log_a х при а > 1).

Рисунок 5.

Сложная функция.Пусть функция у=f(u) есть функция от переменной и, определенной на множестве U с областью значений Y, а переменная и в свою очередь является функцией и = j(x) от переменной х, определенной на множестве X с областью значений U. Тогда заданная на множестве X функция у =f[j(х)] называется сложной функцией (или композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции).

Например, у = lg sin x — сложная функция, так как ее можно представить в виде у= lg и, где и = sin x.

Понятие элементарной функции.Из основных функций новые функции могут быть получены двумя способами при помощи:

а) алгебраических действий;

б) операций образования сложной функции.

Определение.Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

Например, функция является элементарной, так как здесь число операций сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложной функции (, , , ) конечно.

Примерами неэлементарных функций являются функция у = [х] – целая часть х, функция Дирихле.