Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

Теорема.Пусть в некоторой окрестности стационарной точки определены частные производные второго порядка функции

f(x₁, ..., x_m), которые являются непрерывными в т. М₀. Если в этой точке второй дифференциал d²f(M₀) является знакоопределенной квадратичной формой от dx₁, ..., dx_m, то в т. М₀ функция имеет локальный экстремум (локальный максимум, если d²f(M₀) отрицательно определена, и локальный минимум, если d²f(M₀) положительно определена), если же d²f(M₀) знакопеременна, то в т. М₀ экстремума нет.

Пример 5.Исследовать на экстремум функцию

u = x² + y² + z² +2x + 2y + 4z.

Находим стационарные точки

Стационарная точка М₀(-1, -1, -2).

Вычисляем второй дифференциал функции в этой точке

d²u = 2(dx)² + 2(dy)² + 2(dz)² ,

матрица квадратичной формы имеет вид:

Квадратичная форма является положительно определенной, поэтому в т. (-1, -1, -2) функция имеет локальный минимум (не трудно проверить, что он является и глобальным).

Замечание.Если второй дифференциал функции f(x₁, ..., x_m) в т. М₀ не является ни знакоопределенной, ни знакопеременной квадратичной формой (d²f(M₀)³0 всюду или d²f(M₀)£0 всюду, причем есть ненулевые наборы
dx₁, ..., dx_m, в которых d²f(M₀)=0), т.е. является квазизнакоопределенной квадратичной формой, то ничего нельзя сказать о наличии или отсутствии в этой точке локального экстремума, и требуется дополнительное исследование. Это показано на следующих двух примерах.

Пример 6.f(x,y) = x³ + y³.

Стационарная точка (0,0)

- является квазизнакоопределенной квадратичной формой. Экстремума в т. (0,0) нет, т.к. f(x,x)=2x³ меняет знак вдоль прямой у=х при переходе через т. (0,0).

Пример 7.f(x,y) = x² + 2xy + y²

Стационарных точек - целая прямая y=-x

Рассмотрим т. (0,0):

является квазизнакоопределенной квадратичной формой (=0 при dx=-dy). Заметив, что f(x,y)=(x+y)²³ 0, мы получаем, что т. (0,0) (не строгий) минимум.

В частном случае двух переменных можно сформировать следующее достаточное условие экстремума.

Теорема.Пусть функция f(x,y) определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в окрестности точки (х₀,у₀), которая является стационарной для f(x,y), т.е. в ней