Неявные функции.

Дифференциалы высших порядков

Пусть в некоторой области задана дифференцируемая функция

u=f(x₁, ..., x_m), тогда в каждой точке этой области определен дифференциал

Здесь частные производные являются функциями от x₁, ..., x_m. Если существуют непрерывные частные производные второго порядка для u, то du будет иметь непрерывные частные производные по x₁, ..., x_m. Будем считать, что dx₁, ..., dx_m постоянны, тогда можно определить дифференциал от первого дифференциала:

При вычислении дифференциалов от частных производных будем считать, что dx₁, ..., dx_m имеют те же самые значения, что и в исходном дифференциале du.

Полученное таким образом выражение мы назовем дифференциалом второго порядка функции u

Точно так же мы определим и последующие дифференциалы функции u с помощью равенства

.

Пример 1.z = x²y³ Найти d²z.

Пусть задано уравнение f(x,y)=0, где f - дифференцируемая функция переменных х и у. Возникает вопрос о том, при каких условиях это функциональное уравнение однозначно разрешимо относительно у, т.е. однозначно определяет явную функцию y=j(x), и следующий вопрос о том, при каких условиях эта явная функция непрерывна и дифференцируема.

Трудность этих вопросов видна уже на простейшем примере уравнения y² - x = 0. Это уравнение

определяет при х³0 бесконечно много явных функций.

Например, и любая функция, равная +для одних значений х, и -для других значений.

Вопрос 1. При каких условиях существует единственная явная функция, удовлетворяющая уравнению y² = x? Фиксируем точку N₀(x₀,y₀) на кривой y²-x=0, отличную от начала координат.

Очевидно, что часть кривой, лежащая в достаточно малой окрестности точки N₀, однозначно проектируется на ось Ох.

Аналитически это означает, что если рассматривать функцию f(x,y)=y² - x только в этой достаточно малой окрестности точки N₀, то уравнение f(x,y)=0 однозначно разрешимо относительно у и определяет единственную явную функцию для у₀>0 (см. рис.) и для у₀<0.

Если мы теперь рассмотрим точку N₁(0,0), то часть кривой

y²-x=0 не однозначно проектируется на ось ОХ (см. рис.). Аналитически это означает, что если рассматривать функцию f(x,y)=y²-x в любой окрестности т. N₁(0,0), то уравнение f(x,y)=y²-x=0 не является однозначно разрешимым относительно у. Заметим, что в этой точке N₁(0,0) частная производная функции f(x,y)=y²-x обращается в нуль. В общем случае это обстоятельство имеет принципиальное значение: для однозначной разрешимости уравнения f(x,y)=0 в окрестности т. (х₀,у₀) относительно у требуется, чтобы .

В случае, когда рассматривается уравнение вида F(u, x₁, ..., x_m)=0, имеют место те же трудности, что и в случае одной переменной: для однозначной разрешимости этого уравнения относительно u нужно рассматривать функцию F(u, x₁, ..., x_m) в окрестности точки (для которой , и требовать, чтобы в т. N₀.

Формулировка теоремы о неявной функции имеет вид.

Теорема.Пусть функция F(u, x₁, ..., x_m) дифференцируема в некоторой окрестности точки , причем и . Тогда для любого достаточно малого e>0 существует такая окрестность точки , в которой определена (единственная) функция

u=u(x₁, ..., x_m) удовлетворяющая условию ïu-u₀ï<e и являющаяся решением уравнения

F(u, x₁, ..., x_m)=0.

Эта функция u=u(x₁, ..., x_m) непрерывна и дифференцируема в окрестности т. М_{0 .}

Замечание 1.Частные производные вычисляются по формулам

(i = 1, ..., m).

Эти формулы получаются следующим образом: подставим неявную функцию u=u(x₁, ..., x_m) в уравнение F(u, x₁, ..., x_m)=0,

получим

F(u(x₁, ..., x_m), x₁, ..., x_m)=0.

Это равенство является тождеством по x₁, ..., x_m. Вычислим частные производные от обеих частей этого равенства по x_i, используя теорему о производной сложной функции,

Аналогично можно найти и высшие k-е производные неявной функции, если функция F(u, x₁, ..., x_m) дифференцируема k раз.

Пример 1.Найти частные производные функции z, заданной неявно:

F º z³ + x⁵ + y⁵ - 2xyz + 2x - 4 = 0.

Уравнение одназначно разрешимо относительно z, если , т.е. 3z² - 2xy ¹ 0.

Теорема о неявной функции имеет следующие геометрические приложения.

Пусть задана поверхность уравнением F(x,y,z)=0.

Требуется написать уравнение касательной плоскости к этой поверхности и вычислить координаты нормального вектора к этой поверхности в некоторой точке (x₀,y₀,z₀). Предположим, что одна из частных производных отлична от нуля в этой точке. Это значит, что одна из переменных может быть выражена как функция двух других.

Пусть, например, , тогда x = j(y,z), а для такой функции, уравнение касательной плоскости имеет вид

Нормальный вектор имеет координаты:

.

Подставляя сюда выражения для , получим

или ,

а в качестве нормального вектора к поверхности можем взять следующий:

.

Замечание:Если рассматривать поверхность уровня F(x,y,z)=C функции u=F(x,y,z), то мы получим, что ортогонален поверхности уровня.

Пример 2.Дана поверхность x² +4y² +2z² = 7. Написать уравнения касательных плоскостей к этой поверхности, которые параллельны плоскости x+y+z=1

Здесь F(x,y,z) = x² +4y² +2z² - 7,

.

Нормальный вектор к поверхности имеет координаты

он должен быть коллинеарен нормальному вектору к заданной плоскости, т.е. вектору .

Отсюда

Решив систему уравнений ,

находим координаты точек касания .

Касательные плоскости имеют уравнения: