Частные производные высших порядков

Функций нескольких переменных.

Частные производные и дифференциалы высших порядков

В трехмерном случае

,

где cosa, cosb, cosg - направляющие косинусы вектора .

Соответственно,

Пусть частная производная функции u=f(x₁,...,x_m) существует в каждой точке некоторого множества , т.е. представляет собой функцию переменных x₁, ..., x_m.

Если эта функция имеет частную производную по переменной х_k в некоторой точке М₀, то она называется второй частной производной функции f(x₁, ..., x_m) по переменным x_i и x_k и обозначается

Совершенно аналогично определяются и последующие частные производные функции f.

Таким образом,

Если не все индексы i₁, ..., i_n совпадают между собой, то частная производная называется смешанной.

Вычисляются частные производные по тем же правилам, что и обыкновенные производные. Необходимо только следить при каждом дифференцировании, чтобы все переменные, кроме одной, считались постоянными.

Пример 1.Вычислить все частные производные второго порядка.

(Здесь y = const)

(Здесь х = const)

(Здесь y = const)

(Здесь х = const)

Замечание.В этом примере . Равенство смешанных производных будет иметь место не всегда, а при выполнении некоторых условий; а именно, справедлива следующая теорема.

Теорема.Пусть функция u=f(x₁, ..., x_m) определена в открытой m - мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D. Тогда значение любой к-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.

В подавляющем большинстве конкретных задач условия теоремы выполняются, и смешанную производную можно вычислять, не обращая внимания на порядок последовательных дифференцирований.