Производная по направлению. Градиент

Дифференциал функции нескольких переменных

Дифференциал функции нескольких переменныхопределяется как линейная (относительно приращений аргументов) часть приращения дифференцируемой функции

,

где dx_i º Dx_i (i=1, ..., m), если x₁, ..., x_m - независимые переменные.

Как и в случае одной переменной первый дифференциал обладает свойством инвариантности его формы, т.е. выражение для первого дифференциала имеет тот же вид и в случае, когда х₁, ..., х_m являются функциями некоторых переменных t₁, ..., t_k. Свойство инвариантности формы первого дифференциала позволяет установить следующие формулы

Например, для дифференциала произведения рассуждаем следующим образом. Рассмотрим функцию w = u×v двух переменных u, v. Дифференциал этой функции равен

но следовательно,

dw = v×du + u×dv.

Пример 1.. Найти полный дифференциал функции

Таким образом,

.

Пример 2., где x=cost, y=t². Вычислить дифференциал сложной функции.

Воспользуемся инвариантностью формы первого дифференциала

.

Здесь

Пусть задана функция двух переменных u=f(x,y) (для большего числа переменных все аналогично), которая определена в окрестности т. (x₀,y₀) и дифференцируема в этой точке. Мы будем рассматривать нашу функцию на лучах, проходящих через т. (x₀,y₀). Луч задается начальной точкой и направляющим единичным вектором,

его параметрические уравнения имеют вид:

.

Подставляя эти выражения вместо аргументов функции u=f(x,y), мы получим функцию одной переменной u(t): u = f(x₀ + t×cosa, y₀ + t×cosb).
Если существует, то эту производную мы назовем производной функции u=f(x,y) в точке (x₀,y₀) в направлении вектора (обозначение ). Используя формулы для производных сложной функции, получаем (для точки t=0)

Если ввести в рассмотрение вектор (обозначаемый gradu), то выражение для производной в направлении вектора можно записать в виде

или

Меняя направление вектора , мы будем получать различные значения . В частности:

1) , если ^gradu ((,gradu) = 0).

2) , если , и это значение является наибольшим из возможных ((,gradu) принимает наибольшее значение).

3) , если ((,gradu) принимает наименьшее значение).

Таким образом, gradu определяет направление, в котором скорость возрастания функции является наибольшей.

Пример 1.Найти производную функции z = x²y³ в точке (1,2) в направлении вектора, составляющего с положительным направлением оси Ох угол 45⁰.

Координаты вектора имеют вид

Пример 2.Найти grad(x² - y) в точке (1,1) и вычислить производную функции в направлении градиента в этой точке

.

Производная функции в направлении градиента равна модулю градиента.

; где .