Дифференцирование сложной функции

Пусть функция u = f(x₁, ..., x_m) и система функций

определяют сложную функцию, тогда справедлива следующая

Теорема.Пусть функции j_i(t₁, ..., t_k) (i = 1, ..., m) дифференцируемы в точке , а функция u = f(x₁, ..., x_m) дифференцируема в соответствующей точке , где . Тогда сложная функция дифференцируема в точке А₀. Для частных производных в т. А₀ справедливы следующие формулы:

в которых частные производные берутся в точке М₀, а частные производные берутся в точке А₀.

Идея доказательства такая же, как и в одномерном случае.

В условие дифференцируемости внешней функции

подставляются не произвольные приращения переменных Dx₁, ..., Dx_m, а приращения функции , соответствующие приращениям аргументов Dt₁, ..., Dt_k. Эти приращения представимы в виде (следует из условия дифференцируемости функций )

Выделяя затем линейную часть Du относительно Dt₁, ..., Dt_k, мы получаем выражения для частных производных сложной функции.

Заметим, что в случае, когда х₁, ..., х_m зависят только от одной переменной t, производная по t сложной функции (обыкновенная) вычисляется по формуле

и если, кроме того, f зависит от одной переменной х, то формула принимает вид: , т.е. совпадает с формулой для одномерного случая.

Пример 1., где x=cost, y=sint.

здесь вместо х и у надо поставить их выражения через t

.

Пример 2., где x=sint. Вычислить .

(Здесь t и x считаются независимыми переменными)

(Здесь вместо х необходимо подставить его выражение через t)

Пример 3.z = x² - y² , где x=t₁×t₂, y=t₁ -.

Вычислить