Достаточное условие дифференцируемости

Пусть функция u = f(x₁, ..., x_m) имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности точки , и эти частные производные непрерывны в самой точке М₀, тогда эта функция дифференцируема в т. М₀. Принимая утверждение без доказательства, мы только отметим, что здесь частные производные рассматриваются как функции m переменных (x₁, ..., x_m) в окрестности точки М₀, причем эти функции непрерывны по совокупности переменных в т. М₀ (и противоречия с примером 3 этой темы нет).

1.9.6.4. Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных u=f(x,y)

Определение 1.Касательной плоскостью к графику функции u=f(x,y) в точке (х₀, y₀, f(x₀,y₀)) называется такая плоскость, что разность ее апликаты и значения функции f(x,y) является величиной, бесконечно малой по сравнению с r при r®0, где

.

Пусть u₀ = f(x₀,y₀), u = f(x,y), тогда условие дифференцируемости в т. (x₀,y₀) этой функции записывается в виде

u - u₀ = A(x-x₀)+B(y-y₀)+o(r),

или

u = u₀ + A(x-x₀)+B(y-y₀)+o(r).

Рассмотрим следующую плоскость

U-u₀ = A(x-x₀) + B(y-y₀)

(U - откладывается на той же оси Оz, что и u), тогда ее апликата U определяется равенством

U = u₀ + A(x-x₀) + B(y-y₀),

и разность

U-u = u₀ + A(x-x₀) + B(y-y₀) - (u₀+A(x-x₀) + B(y-y₀) + o(r)) = o(r).

Таким образом, если функция u=f(x,y) дифференцируема в т. (x₀,y₀), то график этой функции в соответствующей точке (x₀,y₀, f(x₀,y₀)) имеет касательную плоскость, задаваемую уравнением

z - f(x₀,y₀) =

Из аналитической геометрии известно, что нормальный вектор к этой касательной плоскости имеет координаты

.

Уравнения нормали к касательной плоскости в т. (x₀,y₀, f(x₀,y₀)) имеют вид:

.

Замечание.Касательная плоскость может быть определена также следующим эквивалентным образом.

Определение 2.Плоскость П, проходящая через точку N₀ поверхности, называется касательной плоскостью в этой точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку N₀ и любую точку N₁ поверхности, стремится к нулю, когда точка N₁ стремится к N₀.

Пример 1.Дана функция z = 2x² - 3xy + 4y² - 2x + y

и точка (1,1). Написать уравнение касательной плоскости в соответствующей точке графика этой функции, а также уравнения нормали.

Уравнение касательной плоскости

z - 2 = -1×(x-1) + 6×(y-1)

Уравнения нормали к графику функции в той же точке имеют вид: