Дифференцируемость функции нескольких переменных

Определение 2.Функция u=f(x₁, ..., x_m) называется дифференцируемой в точке M(x₁, ..., x_m), если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

f(x₁+Dx₁, ..., x_m+Dx_m) - f(x₁, ..., x_m) º

º Du = A₁Dx₁ + A₂Dx₂ + ... + A_mDx_m + a₁Dx₁ + ... + a_mDx_m,

где А₁, А₂, ..., А_m - некоторое, не зависящие от Dx₁, ..., Dx_m, числа,

а a₁, a₂, ..., a_m - бесконечно малые при Dx₁®0, ..., Dx_m®0 функции, равные 0 при Dx₁=Dx₂=...=Dx_m=0.

Если положить , то условие дифференцируемости может быть записано в виде:

Du = A₁Dx₁ + A₂Dx₂ + ... + A_mDx_m + o(r) (1)

Оба представления эквивалентны и означают, что приращение функции представимо в виде линейной части (по Dx₁, ..., Dx_m) и членов более высокого порядка (по Dx₁, ..., Dx_m или r).

Теорема 1.Если функция u=f(x₁, ..., x_m) дифференцируема в точке

M(x₁, ..., x_m), то в этой точке существуют частные производные по всем аргументам, причем , где А_i определяются из условия дифференцируемости.

Доказательство:Положим в условии дифференцируемости все приращения, кроме Dx_k, равными нулю, тогда для частного приращения справедливо представление

Dx_ku = A_kDx_k + a_k ×Dx_k

Отсюда

и т.к. a_k ® 0 при Dx_k ® 0, то

.

Следствие.Условие дифференцируемости функции в данной точке можно записать в виде:

Замечание 1.Существования частных производных в точке не достаточно для дифференцируемости функции в этой точке.

Пример 4.

Покажем, что эта функция не дифференцируема в т. (0,0). Этого следует ожидать, т.к. порядок приращения функции в нуле равен (), а в условии дифференцируемости требуется, чтобы порядок приращения был не ниже первого.

Предположим, что приращение функции представляется в виде

Du = 0×Dx + 0×Dy + o(r).

Это означает, что ; ,

т.е. должно выполняться условие

.

Положив Dx = Dy, получим

.

Отсюда следует, что не является o(r), т.е. функция не является дифференцируемой в нуле.

Замечание 2.Из дифференцируемости функции в точке следует ее непрерывность в этой точке. Действительно, из представления (1) следует, что.

Обратное неверно даже в одномерном случае.

В предыдущем примере функция не является дифференцируемой, но является непрерывной. Действительно

при .

Здесь использовано неравенство , которое, очевидно, следует из неравенства (а-b)² ³ 0.