Частные производные функций нескольких переменных

Дифференцируемость функций нескольких переменных

Пусть М(х₁, х₂, ..., х_m) внутренняя точка области определения функции u=f(x₁, ..., x_m). Пусть Dx_k - приращение k-ой координаты в данной фиксированной т.М, ему соответствует частное приращение функции

Dx_k u º

f(x₁, ..., x_k-1, x_k+Dx_k, x_k+1, ..., x_m) - f(x₁, ..., x_m).

Рассмотрим отношение , которое зависит от Dx_k и определено при всех достаточно малых Dx_k, отличных от нуля.

Определение 1.Если существует , то он называется частной производной функции

u=f(x₁, ..., x_m) в т. М(x₁, ..., x_m) по аргументу x_k и обозначается одним из символов:

. Таким образом, .

Замечание.Так как изменяется только x_k + Dx_k, т.е. k-я координата аргумента функции f, то частная производная является обыкновенной производной функции f как функции только k-й переменной (при фиксированных остальных переменных). Это позволяет вычислить частные производные по одной из переменных по обычным формулам дифференцирования, если зафиксировать все остальные переменные.

Пример 1.u = x² + 3xy - y

вычисляем при условии, что y = const

вычисляем при условии, что x = const

Пример 2.

(при фиксированном у применима обычная теорема о производной сложной функции).

Аналогично

.

Выясним теперь, насколько полную информацию дают частные производные функции в данной точке о поведении функции в окрестности этой точки.

Сразу отметим, что частные производные в т.М₀ могут дать информацию о поведении функции только на прямых, проходящих через т.М₀ и параллельных координатным осям.

Конечно, этой информации совсем не достаточно, чтобы судить о поведении функции в целой окрестности т.М₀ (и, в частности, на других лучах, проходящих через т.М₀).

Пример функции показывает, что частные производные ее

(аналогично )

существуют и обращаются в нуль не только в т. (0,0), но и всюду на координатных осях, а сама функция не имеет в т. (0,0) предела (см. тему 4). Заметим, что в одномерном случае из существования производной следовала непрерывность функции.

Таким образом, мы приходим к необходимости ввести более сильное условие, чем существование частных производных, чтобы оно было аналогом дифференцируемости функции одной переменной. Это условие должно быть связано с полнымприращением функции в точке.