Основные свойства непрерывных функций

Непрерывность функции нескольких переменных

Определение 2.

Пример 4.. Запишем определение предела

.

Из неравенства (e < 1), получаем

.

Отсюда очевидно, что можно положить .

Замечание 2.Для пределов суммы, разности, произведения и частного функций нескольких переменных справедливы те же формулы, что и в одномерном случае.

Определение 1.Функция u=f(M) называется непрерывной в т. А, если .

Определение 2.Функция u=f(M) называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Условию непрерывности можно придать разностную форму. Пусть

,

тогда условие непрерывности имеет вид:

.

(В примере 1 предыдущей темы рассмотрена непрерывная в нуле функция.)

Фиксируем все переменные, кроме одной, проложив, например, х₂=а₂,..., х_m=а_m. Тогда получим функцию одной переменной f(x₁,a₂,...,a_m), которая будет непрерывной в т. х₁=а₁, если f(x₁,...,x_m) непрерывна в
т. А (очевидно). Таким образом, из непрерывности функции нескольких переменных в точке следует ее непрерывность по каждой координате (при фиксированных остальных). Обратное утверждение неверно, что показывает пример 2 предыдущей темы:

На координатных осях функция непрерывна (просто тождественно равна 0), но даже не имеет предела в т. (0,0). Непрерывности вдоль лучей также не достаточно для непрерывности в точке функции нескольких переменных. Это показывает пример 3 предыдущей темы.

1. Арифметические операции над непрерывными функциями приводят к непрерывным функциям (для частного знаменатель отличен от нуля).

2. Непрерывность сложной функции.

Пусть функции заданы на множестве Т Í R^k, тогда каждой точке (t₁,...,t_k) Î T ставится в соответствие число u по формулам , т.е. на множестве Т определена функция, которую мы назовем сложной функцией.

Пример 1.; y=t ; x=t+s, тогда сложная функция имеет вид .

Теорема.Пусть имеет смысл сложная функция f(j₁, ..., j_m). Если функции j₁, ..., j_k непрерывны в т. , а функция f непрерывна в
т. , тогда сложная функция f(j₁, ..., j_k) непрерывна в т. t⁽⁰⁾.

По этой теореме функция непрерывна при всех (t,s)ÎR².

3. Устойчивость знака непрерывной функции.

Теорема.Пусть функция u=f(M) непрерывна в т.А и f(A)¹0. Тогда существует такая d-окрестность т.А, в которой f(M) имеет тот же знак, что и f(A).

4. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение.

Теорема.Пусть функция u=f(M) непрерывна на связноммножестве . Тогда для любых точек А, В Îи для любой кривой, L, соединяющей эти точки и лежащей в , найдется точка на этой кривой, в которой функция принимает любое заданное промежуточное значение между f(A) и f(B).

Условие связности существенно уже в одномерном случае:

5. Теоремы Вейерштрасса.

Теорема 1.Функция, непрерывная на ограниченном замкнутом множестве, ограничена на этом множестве.

Теорема 2.Функция, непрерывная на ограниченном замкнутом множестве, достигает на этом множестве своих точных верхней и нижней граней. Для неограниченных или не замкнутых множеств эти утверждения неверны уже в одномерном случае.