Пример 2.

Опр. 1

Число b называется пределом функции u=f(M) при М®А, если для любого e>0 существует такое d>0, что для всех точек МÎ, удовлетворяющих условию 0<r(M,A)<d, справедливо неравенство .

Замечание 1.Иногда пишут .

На рисунке дана иллюстрация определения предела по Коши для случая m=2. Для любого e>0 существует такая проколотая d-окрестность т.А, значения функции в которой отличаются от b меньше, чем на e (другими словами, график функции попадает в e-полосу плоскости u=b).

Пример 1. .Проверим, что , для этого "e>0 надо найти такое d>0, что из неравенства

Очевидно, можно положить d=e².

Заметим, что если существует предел функции u=f(M) при М®А, то существуют пределы f(М), когда М стремится к т.А вдоль любого луча, причем все эти пределы одинаковы и совпадают с пределом функции. Следовательно, если для функции удается указать, по крайней мере, два направления, вдоль которых пределы функций различны, то предела у функции нет.

Для этой функции вдоль осей Оx и Oy пределы существуют и равны 0 (на координатных осях функция равна 0), но вдоль прямой y=kx

зависит от k.

Отсюда получаем, что предела в нуле этой функции нет.

Возникает вопрос, будет ли функция нескольких переменных иметь предел, если все пределы вдоль лучей будут одинаковы? Ответ отрицательный, что видно из следующего примера.

Пример 3.Функция равна 1 на оси Ох и двух кругах радиуса 1, касающихся оси Ох в начале координат, в остальных точках она равна 0 (см. рис.)

Любой луч, кроме Ох, идущий в начало координат, попадает в круг, а там функция равна 1, следовательно, предел вдоль любого луча равен 1. С другой стороны, есть последовательности точек, расположенных между осью Ох и окружностью, сходящиеся к нулю, вдоль которых функция равна 0, и, следовательно, предел ее вдоль таких последовательностей равен нулю. Отсюда получаем, что предела в нуле функция не имеет.

Аналогично одномерному случаю можно дать определение предела функции при М® ¥ (при этом должно быть не ограниченным).