Предел функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных

Опр.1Если каждой точке М множества из R^m поставлено в соответствие вещественное число u, то говорят, что на этом множестве определена функция u=f(M) (или u=f(x₁, ..., x_m)). Множество называется областью определения функции.

Пример 1.. Область определения находим из условия a²-x²-y² ³ 0 Û

x² + y² £ a².

Пример 2.u = ln (z - x² - y²). Следовательно, область определения расположена над эллиптическим параболоидом z = x² + y².

Опр. 2Графиком функции u=f(M) называется совокупность точек

(M, f(M)), M Î. График функции u=f(M) является гиперповерхностью в пространстве R^m+1.

Пример 3.z = x² + y² +1. График функции имеет вид

Опр. 3Множество точек М(х₁, ..., х_m) пространства R^m, удовлетворяющих уравнению

f(x₁, ..., x_m) = C , где С - const, называется множеством уровня функции f.

Линии уровня (m = 2) и поверхности (m = 3) дают информацию о поведении функции.

Пример 4.z = x² +y² +1. Линии уровня имеют вид:

x2 + y2 +1 = C x2+y2 = C-1

Пример 5.u = x² + z² - y² . Поверхности уровня имеют уравнения

С = 0 x² + z² - y² = 0 - конус;

С > 0 x² + z² - y² = C - семейство однополостных гиперболоидов;

С < 0 x² + z² - y² = C - семейство двуполостных гиперболоидов.

Пусть функция u=f(M) определена на множестве Í R^m и т.А обладает свойством, что в любой ее окрестности есть точки из (отличные от А, если АÍ). Сама точка А может не принадлежать области определения функции u=f(M).

Определение предела функции нескольких переменных по своей структуре не отличается от определения предела функции одной переменной. Основное содержание его: если аргумент М мало отличается от А, то значение функции f(M) мало отличается от b (предела функции). Определения предела функции нескольких переменных по Гейне и Коши имеют вид:

Опр. 1*

Число b называется пределом функции u=f(M) при М®А, если для любой последовательности точек из , сходящейся к т.А

(M_n ¹ A), соответствующая последовательность значений функции сходится к b.