Пример 1.

Функции нескольких переменных.

1.9.1. Множества в евклидовом пространстве R^m

Определение 1. Совокупность всех упорядоченных наборов из m действительных чисел

(х₁, ..., х_m) (точек R^m) называется m-мерным евклидовым пространством R^m, если расстояние между любыми двумя точками и определяются формулой

.

Пример 2.Пусть .

-- окрестность т. М_0.

Пример 3.Пусть d₁,..., d_m - положительные числа.

- прямоугольная окрестность т. М_0,

(i = 1,..., m)

Утверждение 1.Любая - окрестность т. М₀ содержит некоторую прямоугольную окрестность этой точки; любая прямоугольная окрестность точки М₀, содержит - окрестность т. М.

Прежде всего заметим, что для m = 1 прямоугольные и - окрестности совпадают. Для m = 2 содержание утверждения также очевидно.

Для всех m > 1 доказать этот факт можно только аналитически (хотя наглядные представления для двумерного случая несомненно этому помогают).

Определение 2.Точка М₀ множества из R^m называется внутренней точкой этого множества, если существует некоторая - окрестность т. М₀, целиком принадлежащая этому множеству

Определение 3.Точка М₀ множества из R^m называется граничной точкой множества М₀, если любая - окрестность т. М₀ содержит как точки, принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему.

Определение 4.Множество из R^m называется открытым множеством или областью, если любая точка этого множества - внутренняя.

Примером открытого множества может служить открытый шар

Определение 5.Если каждая граничная точка множества принадлежит этому множеству, то множество называется замкнутым.

Примером может служить “замкнутый” шар

Определение 6.Замкнутой областью называется объединение области и множества ее граничных точек.

Определение 7.Непрерывной кривой L в R^m назовем множество точек, координаты которых задаются параметрическими уравнениями

где (i = 1,..., m). При t = a, b получаем начало и конец кривой (Будем говорить, что начало и конец соединены непрерывной кривой).

Определение 8.Множество из R^m называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.

Замечание.Часто в определение области включают требование связности.

Определение 9.Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре.

1.9.2. Последовательности точек из R^m.

Определение 1.Пусть каждому натуральному числу n поставлена в соответствие некоторая точка M_n Î R^m (не обязательно различные точки для разных n). Тогда множество точек M₁, M₂, ..., M_n, ..., взятых в указанном порядке, называется последовательностью точек из пространства R^m.

Пример 1.- последовательность точек из R²

Определение предела последовательности точек из R^m по своей структуре не отличается от определения в одномерном случае:

последовательность сходится к т. АÎR^m, если начиная с некоторого номера, все элементы последовательности попадают в любую наперед заданную окрестность т.А. (Точка А называется пределом последовательности, а последовательность - сходящейся). Используя логическую символику определение предела последовательности можно записать в следующей форме

Опр. 2

Пример 2.

На этом примере мы видим, что не только последовательность сходится к началу координат, но и каждая координата M_n имеет нулевой предел. В общем случае справедливо

Утв. 1Для того, чтобы последовательность

сходилась к точке А(а₁, ..., а_m), необходимо и достаточно, чтобы

(i = 1, 2, ..., m).

Доказательство:1) (i = 1, ..., m).

Отсюда при и, в частности, а это означает, что последовательности координат точек M_n сходятся соответственно к а₁, ..., а_m.

2) .

(i=1, ..., m).

Положим , тогда для n>N выполнено неравенство

,

т.е. ,и, следовательно, .

Утверждение 1 доказано.

Опр. 3Последовательность называется ограниченной, если все ее элементы содержатся в некотором шаре.

Опр. 4Пусть n₁, n₂, ..., n_k, ... - произвольная строго возрастающая последовательность натуральных чисел, тогда последовательность называется подпоследовательностью последовательности .

Замечание:Если последовательность имеет предел, то и любая ее подпоследовательность имеет предел.

Теорема 1.Из любой ограниченной последовательности точек из R^m можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Пример 3. ограничена (но не имеет предела).