Интерполяционный полином, определитель Вандермонда и обусловленность матриц

Вернемся к задаче построения интерполяционного полинома, проходящего через заданное множество точек. Напомню, заданы своими координатами точки, через которые должен пройти полином степени n. Требуется найти коэффициенты этого полинома. Ранее был рассмотрен алгоритм Лагранжа, позволяющий построить этот полином. Нетрудно понять, что существует прямое решение этой задачи, состоящее в построении системы линейных уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов полинома. В матричном виде эта система уравнений имеет вид:

Матрица X называется матрицей Вандермонда, а ее определитель - соответственно, определителем Вандермонда. Этот определитель вычисляется достаточно просто:

Он равен произведению разностей координат точек, где произведение берется по всем j, большим i. Очевидно, что определитель будет отличен от нуля, если у точек нет совпадающих координат x. Этот факт отмечался и при рассмотрении полинома Лагранжа, когда говорилось, что множество точек "не имеет возвратов".

Когда определитель матрицы равен нулю, то, как уже говорилось, не существует обратной матрицы и нельзя найти решение системы линейных уравнений. Для системы линейных уравнений это означает, что уравнения в ней являются линейно зависимыми и одно из них представляет линейную комбинацию других уравнений. Такая система не обладает полной информацией и не может использоваться для однозначного нахождения решения.

На практике часто возникает ситуация, когда матрица системы появляется в результате измерений, ее элементы представляют не точные значения, а содержат ошибки измерений. Здесь система уравнений может иметь определитель, отличный от нуля, но быть "почти" линейно зависимой в пределах ошибок измерений. В таких случаях формально найденное решение может быть далеким от "истинного" решения. Как правило, матрица подобных систем является плохо обусловленной, а сама система уравнений называется неустойчивой. Дадим более точное определение. Матрица А называется плохо обусловленной, а система уравнений - неустойчивой, если малым изменениям элементов прямой матрицы соответствуют большие изменения в обратной матрице. Понятно, что если обратная матрица вычислена с большими ошибками, то и решение системы содержит ошибки такого же порядка.

Если матрица А плохо обусловлена, то и обратная к ней также является плохо обусловленной матрицей. Во сколько раз могут возрастать ошибки в элементах прямой матрицы при ее обращении? Примерный ответ на это дают "числа обусловленности" матрицы. Предлагаются различные количественные меры обусловленности матриц. Одной из таких мер является М-число обусловленности Тьюринга:

Матрица Вандермонда - потенциальный кандидат на плохую обусловленность. Если посмотреть на ее структуру, то видно, что для ее элементов во многих случаях характерен большой размах - отношение между максимальным и минимальным элементом велико. Действительно, пусть, например, максимальная по модулю координата имеет значение 100, а степень полинома n равна 6. Это довольно скромные цифры, но уже в этом случае минимальный элемент матрицы равен 1, а максимальный - . Примерно такой же размах будет и у элементов обратной матрицы. Ее максимальный элемент будет примерно равен 1, а минимальный - , так что число обусловленности M будет примерно равно . При наличии небольших ошибок в измерении координат ошибки в определении значений полинома в точках, отличных от измеряемых, могут многократно возрастать. По этой причине интерполяционный полином еще можно применять внутри интервала измерений, но не рекомендуется использовать в задачах экстраполяции.