Существуют различные способы перевода чисел из одной системы счисления в другую. Рассмотрим наиболее доступный и не требующий сложных вычислений способ перевода из десятичной системы счисления в систему с новым основанием — так называемый табличный способ. Его суть заключается в том, что исходное десятичное число представляют суммой различных степеней нового основания. При этом степени подбирают из соответствующей таблицы (отсюда и название способа). Последовательность расположения степеней начинается с той, которая дает число, не превышающее исходного десятичного. Затем для членов полученного ряда степеней подбирают соответствующие коэффициенты из алфавита новой системы счисления таким образом, чтобы их сумма была равна исходному десятичному числу.
Рассмотрим примеры использования данного способа.
1. Переведем десятичное число 377 в двоичную систему счисления. Наибольшая степень нового основания S = 2, не превышающая числа 377, равна 8 (так как 28 = 256, а 29 = 512). Таким образом, последовательность расположения степеней начинается с 28 и заканчивается 20. Из этих степеней подбираем те, которые при суммировании дают результат, равный 377. Затем перед членами, которые участвовали в суммировании, поставим коэффициент 1, акоторые не участвовали — 0. Окончательная запись двоичного числа состоит из этих коэффициентов:
2. Выполним перевод этого же числа 37710 в восьмеричную систему счисления. Наибольшая степень восьми, не превышающая 377, равна 2; таким образом, последовательность степеней будет состоять из 82, 81, 80. Подбирая к ним коэффициенты из алфавита восьмеричной степени счисления (от 0 до 7), окончательно получим
37710 =5·82 + 7·81 + 1·81= 5718
320 + 56 + 1
3. Выполним перевод числа 37710 в шестнадцатеричную систему счисления:
37710 = 1·162 + 7·161 + 9·160 = 17916.
256+ 112 + 9
4. Переведем восьмеричное число 5718 и шестнадцатеричное число 17916 в двоичную систему счисления. Для этого заменим каждую цифру этих чисел соответственно 3-разрядным или 4-разрядным двоичным числом. Отбросив при этом ненужные нули, получим
( 5 7 1 ) = 1011110012
101 111 001
( 1 7 9 ) = 1011110012
0001 0111 1001
В обоих случаях имеем одинаковый результат 5718 = 17916 = 101111012, совпадающий срезультатом, полученным непосредственным переводом вдвоичную систему счисления исходного десятичногочисла 37710.
Табличный способ применим и при переводе правильных десятичных дробей в двоичную, восьмеричную или шестнадцатеричную систему счисления. При этом необходимо пользоваться таблицей отрицательных степеней нового основания. Проиллюстрируем примером перевода десятичной дроби 0,3125 соответственно в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:
В обоих случаях имеем одинаковый результат 0,248 = 0,516 = 0,01012, совпадающий с результатом, полученным непосредственным переводом в двоичную систему счисления исходной десятичной дроби 0,312510.
Рассмотрим общие правила перевода из одной позиционной системы счисления в другую.
1. Перевод целого числа из системы счисления с основанием S в другую систему с основанием q осуществляется последовательным делением его на основание q новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, меньшее q. Число в новой системе запишется в виде остатков деления, начиная с последнего. Указанное деление выполняется в исходной системе счисления.
Проиллюстрируем это правило примерами.
Для контроля правильности преобразований используем примеры, выполненные ранее табличным способом. Сначала переведем десятичное число 377 в двоичную систему счисления последовательным делением на основание
Аналогично выполним перевод в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:
377 : 847 : 85:8 377 : 1623 : 161 : 16
47 + 1 5+7 0+5 23 + 9 1 + 7 0 + 1
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
1 7 5 9 7 1
¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ 5718¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ 17916
Остатки от соответствующих делений дают записи в новых системах счисления, т. е. 37710 = 1011110012 = = 5718 = 17916. Эти результаты полностью совпадают с теми, которые были ранее получены табличным способом.
2. Перевод правильной дроби из одной позиционной системы счисления в другую осуществляется последовательным умножением ее на основание S новой системы счисления; при этом перемножаются только дробные части. Дробь в новой системе счисления записывается в виде целых частей получающихся произведений начиная с первого.
Проиллюстрируем это правило на примере перевода десятичной дроби 0,6875 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:
0,6875 0,3750 0,7500 0,5000
× 2 × 2 × 2 × 2
1,37500,75001,50001,0000
¯ ¯ ¯ ¯
1 0 1 1
® ® ® ® ® ® 0,10112
0,6875 0,5000 0,6875
× 8 × 8 × 16
5,5000 4,0000 11,0000
¯ ¯ ¯
5 4 В
® ® ® 0,548 ® ® 0,В16
В шестнадцатеричной системе счисления целая часть произведения 11 запишется символом В (см. таблицу 2.1), поэтому окончательно получим 0,687510 = 0,10112 = 0,548 = 0,В16.
При переводе дробей в новую позиционную систему счисления последовательное умножение на основание этой системы выполняют до получения дробной части, равной нулю (как было в рассмотренных примерах), или до получения необходимого количества разрядов после запятой.
3. Для перевода неправильных десятичных дробей (например, 15,6875) необходимо, пользуясь приведенными правилами, выполнить отдельно перевод целой и дробной частей.
4. Обратный перевод в десятичную систему счисления из других позиционных систем выполним, пользуясь позиционной записью данного числа. Для чего представим его в виде суммы степеней своего основания, подсчитаем значения десятичных эквивалентов отдельных разрядов, а затем их просуммируем.
