Системы счисления, применяемые в ЭВМ

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭВМ

ЛЕКЦИЯ 2

Контрольные вопросы

1. Укрупненная структурная схема компьютера

2. Многоуровневая память и многопроцессорная архитектура

3. Классификация компьютеров

4. Тенденции развития компьютеров

5. Сети компьютеров

6. Стандартные этапы работы вычислительной системы

Способ представления (записи) чисел с помощью цифровых знаков называется системой счисления. Для записи чисел в конкретной системе счисления используется некоторый конечный алфавит, состоящий из цифр а₁, a₂, a₃, .... а_n. При этом каждой цифре а₁, a₂, a₃, .... а_n в записи числа ставится в соответствие определенный количественный эквивалент (ее «вес»). Если коли­чественное значение цифры зависит от вида этой цифры и ее позиции в записи числа, то такая система счисления называется позиционной. Благодаря на­глядности представления чисел и сравнительной про­стоте выполнения арифметических операций в ЭВМ применяются только позиционные системы счисления.

Количество различных цифр в алфавите позицион­ной системы счисления называется основанием S этой системы. Любое число N в позиционной системе счи­сления можно представить суммой произведений целых однозначных коэффициентов а_i, взятых из алфавита системы, на последовательные целые степени основания 5:

N_s = a_mS^m + a_m-_lS^m-^l + ... ... + _aiS^l + a_oS⁰ + a-₁S-¹+a_-2S-² + ....

Сокращенная запись числа N_s имеет вид N_s = a_ma_m-1_...a₁a_oa_-1... .

При этом позиции цифр а, в этой записи называются разрядами, причем старшие разряды, соответ­ствующие более высоким степеням основания S, рас­полагаются обычно слева, а младшие — справа. Цифры a_i в любом i-м разряде могут принимать S различных значений, при этом всегда a_i <S.

В ЭВМ применяются десятичная, двоичная, вось­меричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Алфавит десятичной системы счисления состоит из десяти различных цифр: 0, 1, 2, .... 9. В этой системе «вес» каждого разряда в 10 раз боль­ше «веса» предыдущего. Например, в записи 1987 цифра 1 означает число тысяч, цифра 9 — число сотен, цифра 8 — число десятков и цифра 7 — число единиц. Всякое число в десятичной системе счисления можно представить суммой различных целых степеней десяти (S = 10) с соответствующими коэффициен­тами a_i (0, 1, 2, .... 9):

N₁₀=a_m10^m + a_m-l0^m-1 + ... ... + a₁10¹ + а₀10⁰ + a_-1,10^-1 + ...,

где а₀, а₁, ..., а_т — количество единиц, десятков, со­тен и т. д.; а_-1, а_-2, ... — количество десятых, сотых, тысячных и т. д. долей единицы.

Для физического представления (изображения) чисел необходимы элементы, способные находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. Число этих состояний должно быть равно основанию при­нятой системы счисления. Тогда каждое состояние будет представлять соответствующую цифру из алфавита данной системы счисления. Наиболее про­стыми с точки зрения технической реализации являются так называемые двухпозиционные элементы, способ­ные находиться в одном из двух устойчивых состоя­ний, например: электромагнитное реле замкнуто или разомкнуто, ферромагнитная поверхность намагни­чена или размагничена, магнитный сердечник на­магничен в одном направлении или в противополож­ном, транзисторный ключ находится в проводящем состоянии или запертом, и т. д. Одно из этих устой­чивых состояний может представлять цифру 0, а дру­гое — цифру 1.

Простота технической реализации двухпозиционных элементов обеспечила наибольшее распростране­ние в ЭВМ двоичной системы счисления, основание которой S = 2; в ней используются лишь две цифры: 0 и 1. Любое действительное число в двоичной системе счисления представляется в виде суммы целых степеней основания S = 2, умноженных на соответствующие коэффициенты (0 или 1). Напри­мер, двоичное число 11011,01₂ = 1 • 2⁴ + 1 • 2³ + 0 • 2² + 1 • 2¹ + 1 • 2⁰ +0• 2^-1 + 1 • 2^-2 = 16 + 8 + 2 + 1 + 0,25 = 27,25₁₀ соответствует десятич­ному числу 27,25₁₀.

Двоичное представление числа по сравнению с десятичным требует большего числа разрядов (для многоразрядного числа примерно в 3,3 раза). Тем не менее благодаря простоте двоичной арифметики и возможности использования двухпозиционных элемен­тов двоичная система счисления является в настоящее время основной системой, применяемой в ЭВМ для представления информации, а также для выполнения арифметических и логических операций.

Кроме двоичной в ЭВМ используются также вось­меричная и шестнадцатеричная системы счисления. Основания этих систем соответствуют целым степеням числа 2 (8 = 2³; 16 = 2⁴), поэтому для них исключи­тельно просты правила перевода в двоичную систему счисления, и наоборот. Восьмеричная и шестнадцате­ричная системы счисления применяются в процессе программирования для сокращенной и удобной записи двоичных кодов команд программы.

В восьмеричной системе счисления используются восемь цифр - от 0 до 7, а любое число представляется суммой целых степеней основания S=8, умноженных на соответствующие коэффици­енты a_i =0¸7. Например, десятичное число 215 за­писывается в восьмеричной системе счисления следую­щим образом:

215₁₀=3·8²+2·8¹ +7·8⁰= 327₈.

192 +16+7 = 215

В шестнадцатеричной системе счис­ления алфавит цифровых знаков состоит из 16 симво­лов, причем в качестве первых десяти символов ис­пользуются арабские цифры от 0 до 9, а дополнитель­но к ним применяются буквенные символы: 10—А, 11—В, 12—С, 13—D, 14—Е, 15—F. С помощью дан­ного алфавита можно записать все десятичные числа от 0 до 15 включительно, а затем 16₁₀ = 1 • 16¹ + 0• 16⁰= 10₁₆; 17₁₀= 1 • 16¹ + 1• 16⁰= 11₁₆; 18₁₀ = 1 • 16¹ + 2• 16⁰= 12₁₆ и т. д.

Число 215 в шестнадцатеричной системе счисления запишется следующим образом:

215₁₀ =D • 16¹ + 7• 16⁰= D7₁₆
(3×16 =208) + (7×1 = 7)
215

В табл. 2.1 приведены записи чисел от 0 до 20 в различных системах счисления.

Таблица 2.1 - Записи чисел от 0 до 20 в различных системах счисления