Функции ошибки

Ортогональные полиномы Лежандра

Интегральная показательная функция

Применения

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

* электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;

* теплопроводность в цилиндрических объектах;

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Интегральная показательная функция определяется следующим образом:

· expint(X) — возвращает интегральную показательную функцию для каждого элемента X, где Х может быть любым.

Пример:

» d=expint([2,3+7i]}

d = 0.0489 -0.0013 -0.00601

Для вычисления этой функции используется ее разложение в ряд.

Функция Лежандра определяется следующим образом:

где Р_n(х) — полином Лежандра степени п, рассчитываемый как

· legendre(n.X) —возвращает функции Лежандра степени n и порядков m = 0,1..... n, вычисленные для элементов X. Аргумент n должен быть скалярным целым числом, не превосходящим 256, а X должен содержать действительные значения в области - Возвращаемый массив Р имеет размерность n+1 lдля каждого аргумента Х.

· 1egendre(n,X, 'sch') — возвращает квазинормализованные по Шмидту функции Лежандра.

Пример:

>> g=rand(3,1);legendre(3,g)

ans =

0.7985 -0.2266 0.8300

-1.4401 1.2973 -1.3397

0.9985 2.3055 0.8437

-0.2718 -14.4445 -0.2093

Функция ошибки определяется следующим образом:

· erf(X) — возвращает значение функции ошибки для каждого элемента вещественного массива X.

Дополнительная (остаточная) функция ошибки задается соотношением:

· erfc(X) — возвращает значение остаточной функции ошибки.

· erfcx(X) — возвращает значение масштабированной остаточной функции ошибки. Эта функция определяется так:

· erfinv(Y) — возвращает значение обратной функции ошибки для каждого элемента массива Y. Элементы массива Y должны лежать в области -1<Y<1.

Примеры:Определить все виды ошибок.

>> x=[2 -0.3 4 0.7];

>> erf(x)

ans = 0.9953 -0.3286 1.0000 0.6778

>> erfc(x)

ans = 0.0047 1.3286 0.0000 0.3222

>> erfcx(x)

ans = 0.2554 1.4537 0.1370 0.5259

>> erfinv(x)

ans = NaN -0.2725 NaN 0.7329

При вычислении данных функций используется аппроксимация по Чебышеву (см. детали алгоритма в Reference Book no MATLAB).