Функции Бесселя

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида ,где v — неотрицательная константа, называется уравнением Бесселя. Решения этого уравнения называются функциями Бесселя.

Функции J_v(х) и J__v(х) формируют фундаментальное множество решений уравнения Бесселя для неотрицательных значений п (это так называемые функции Бесселя первого рода индекса v: , где - гамма-функция.

В случае нецелого индекса общее решение уравнения Бесселя имеет вид:

· besselj(v,X) — возвращает функцию Бесселя первого рода, J_v(x), для каждого элемента комплексного массива X. Порядок v может не быть целым, однако должен быть вещественным. Аргумент X может быть комплексным. Результат вещественный, если X положительно. Если v и X — массивы одинакового размера, то результат имеет тот же размер. Если любая входная величина — скаляр, результат расширяется до размера другой входной величины. Если одна входная величина — вектор-строка, а другая — вектор-столбец, результат представляет собой двумерный массив значений функции. .

Второе решение уравнения Бесселя, линейно независимое от J_v(z), определяется каки задает функции Бесселя второго рода Y_v(z): .

Функции Бесселя третьего рода (функции Ханкеля) и функция Бесселя первого и второго рода связаны следующим выражением:

· bessely(v, X) — возвращает функцию Бесселя второго рода, Y_v(x). Выражениях Х – массив чисел, которые могут быть вещественными и комплексными, v – порядок массива, является числом вещественным, положительным.

· [J.ierr] = besse1j(nu,Z) и [Y.ierr] = bessely(v, X) функции всегда возвращают массив с флагами ошибок:

o ierr = 1 — запрещенные аргументы;

o ierr = 2 — переполнение (возвращает Inf);

o ierr = 3 — некоторая потеря точности при приведении аргумента;

o ierr = 4 — недопустимая потеря точности: Z или nu слишком велики;

o ierr = 5 — нет сходимости (возвращает NaN).

Примеры:

» S=[2-51.4.7];T=[8.l.3]:g=besselj(T.S)

g= 0.1114-0.05081 -0.0660 -0.1676

» S-[2-5i,4.7];T=[8.1.3J;[g.ierr]=bessely(T.S)

g= 0.1871 - 0.03241 0.3979 0.2681

ierr = 0 0 0

· besselh(v, К, Z) — для К=1 или 2 возвращает функцию Бесселя третьего рода (функцию Ханкеля) для каждого элемента комплексного массива Z. Если nu и Z — массивы одинакового размера, то результат имеет тот же размер. Если одна из входных величин — скаляр, результат формируется по размеру другой входной величины. Если одна входная величина — вектор-строка, а другая — вектор-столбец, результат представляет собой двумерный массив значений функции.

· besselh(v, Z) — использует по умолчанию К = 1.

· besselh(v, l, Z, l) — масштабирует H⁽¹⁾_v(z) с коэффициентом exp(-i*z).

· besse1h(v, 2, Z, l) — масштабирует H⁽²⁾_v(z) с коэффициентом exp(+i*z).

· [H.ierr] = besselhC...) — всегда возвращает массив с флагами ошибок:

o ierr = 1 — запрещенные аргументы;

o ierr = 2 — переполнение (возвращает Inf);

o ierr = 3 — некоторая потеря точности при приведении аргумента;

o ierr = 4 — недопустимая потеря точности: Z или nu слишком велики;

o ierr = 5 — нет сходимости (возвращает NaN).

Пример:Решить уравнение .

Решение: Заданное уравнение является уравнением Бесселя индекса , поэтому его решение будет

>> syms C1 C2; y=C1*besselj(1/2,x)+C2*besselj(-1/2,x)

y =C1*2^(1/2)/pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x)+C2*2^(1/2)/pi^(1/2)/x^(1/2)*cos(x)

>> simplify(y)

ans =2^(1/2)*(C1*sin(x)+C2*cos(x))/pi^(1/2)/x^(1/2)

>> pretty(ans)

Ответ:

Построение:

>> for C1=1:5:20

for C2=2:3:12

y =C1*2^(1/2)/pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x)+C2*2^(1/2)/pi^(1/2)/x^(1/2)*cos(x);

ezplot(y)

hold on

end

end

Рис. График множества решений уравнения Бесселя

Пример: построить функции

>> x=0:0.1:10;

>> y0=besselj(0,x);y1=besselj(1,x);y2=besselj(2,x);y3=besselj(3,x);

>> plot(x,y0,'-m',x,y1,'--r',x,y2,'-.k',x,y3,':b')

>> legend('besselj(0,x)', 'besselj(l,x)' ,'besse1j(2,x)',' (besselj(3,x)');

Рис. Графики четырех функций Бесселя besselj(n,x)

Эти графики дают наглядное представление о поведении функций Бесселя, широко используемых при анализе поведения систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями второго порядка.

Связь между функцией Эйри и модифицированной функцией Бесселя выражается следующей формулой: