Производная по направлению

Лекция 7.2. Приложения понятия частных производных

План:

1. Производная по направлению

2. Градиент функции и его применение

3. Частные производные второго порядка для функции двух переменных.

4. Экстремум функции двух переменных.

Пусть диффенцируемая функция двух переменных. Рассмотренные ранее частные производные от функции двух переменных являются «производными в направлении координатных осей». Например, при нахождении приращение получает переменная x, изменяясь от x до вдоль оси Ox. Целесообразно поставить вопрос об определении и вычислении производной по любому направлению.

Пусть направление движения точки плоскости будет показывать вектор где Обозначим длину вектора При этом функция получит приращение

Производной функциив точке в направлении вектора называется предел отношения при если он существует. Обозначается илиТо есть

Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в направлении вектора. Если то функция возрастает в направлении вектора , если , то функцияубывает в направлении вектора .

Механический (физический) смысл производной по направлению состоит в том, что она характеризует мгновенную скорость изменения функции в точкевнаправлении вектора .

Для вычисления производной по направлению функции двух переменных используют формулу:

где и направляющие косинусы, т.е. косинусы углов, образуемых вектором с осями координат.

Пример .. Найти производную функции в точке в направлении, идущем от этой точки к точке

Решение. Вычислим и Найдем значения этих производных в точке : Найдем координаты вектора Вычислим направляющие косинусы вектораДля вычисления производной функции по направлению подставим полученные выражения в формулу: