Понятие частных производных и дифференциала функции двух переменных

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Так как x и независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение.

1) Переменной дадим приращение , а сохраним неизменным. Частным приращением функции по переменной называется соответствующее приращение функции

2) Переменной дадим приращение , а сохраним неизменным. Частным приращением функции по переменной называется соответствующее приращение функции

3)Переменной дадим приращение , переменной дадим приращение Полное приращение функции определяется равенством

Вспомнив определение производной функции одной переменной, можно ввести понятие частных производных функции двух переменных, заменяя обычное приращение функции частным приращением.

Частной производной функции по переменной называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующей переменной, когда это приращение стремиться к нулю и обозначается:

Аналогично определяется частная производная функции по переменной

Существуют и другие обозначения производной:

Из определения частных производных следует правило их нахождения.

Правило вычисления частной производной функции по переменной

1. Считать переменную постоянной величиной.

2. Вычислить используя формулы и правила вычисления производных функции одной переменной .

Для нахождения постоянной предполагается переменная .

Пример.. Найти частные производные функций:

а) б)

Решение. Применяя правила, получим

а)

б)

Дифференциал функции нескольких переменных

Пусть функция имеет непрерывные частные производные и

Частным дифференциалом по переменной xфункцииназывается произведение и обозначается символом т.е.

Аналогично, частным дифференциалом по переменной yфункцииназывается произведение и обозначается символом т.е.

Полным дифференциалом функции называется сумма частных дифференциалов или, сумма произведений частных производных на приращение соответствующей независимой переменной:

или

Если в формулу полного дифференциала подставить функция затем функциюполучим:

Таким образом, как и случае функции одной переменной дифференциал независимой переменной совпадает с приращением этой переменной. С учетом этого, формулы для полного дифференциала примут вид:

или