Градиент функции и его применение

Градиент – характеристика, показывающая направление и величину максимальной скорости изменения функции в данной точке.

Пусть дифференцируемая функция двух переменных.

Градиентом функции называется вектор, координатами которого являются частные производные функции в точке и обозначается , т.е. или

Теорема 7.1. Градиент функции в точке характеризует направление максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке, причем наибольшая скорость возрастанию функции в точке равна

Итак, градиент – вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции и равный по величине мгновенной скорости возрастания функции.

Пример 7.6. Найти градиент функции .

Решение. Вычислим частные производные Подставив в формулу градиента,

Пример 7.7. Найти наибольшую скорость возрастания функции в точке .

Решение. Найдем частные производные и их значения в точке М:

Градиент функции в точке есть вектор Наибольшая скорость возрастания функции равна

3. Частные производные второго порядка для функции двух переменных

Пусть дифференцируемая функция двух переменных. Следовательно, для нее можно найти производные иНазовем их частными производными первого порядка. В свою очередь они могут быть дифференцируемыми функциями своих переменных и также могут иметь частные производные по каждой их этих переменных.

Частными производными второго порядка от функции называются производные от частных производных первого порядка. Рассмотрим частную производную .От этой производной возьмем производную по переменной x и по переменной y. Таким образом, и

Аналогично получаем и

Следовательно, частных производных второго порядка от функциибудет четыре: Иногда применяют обозначения:

Частные производные называютсмешанными производными.

Пример.. Найти частные производные второго порядка функции

Решение.

В примере оказалось, чтосмешанные частные производные равны, то есть Приводимая ниже теорема Шварца (Герман Шварц (1843-1921-немецкий математик), утверждает, что не простое совпадение.

Теорема (Щварца).Если частные производные порядка непрерывны, то смешанные производные того же порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, для имеем

Согласно этой теореме смешанные производные можно вычислять в любом порядке и нет необходимости находить обе смешанные производные.

Частные производные второго порядка используются при нахождении экстремальных значений функции двух переменных.