Вычисление геометрии распределения

Еще более информативным является вычисление геометрии распределения случайной величины. Оно необходимо для того, чтобы представить себе более точно характер распределения. Известно, что по значению статистического момента можно приблизительно судить о геометрическом виде распределения.

Первый момент (или среднее арифметическое) вычисляется так:

Если A принимает значение 0, то первый момент называется начальным моментом, если A принимает значение X, то первый момент называется центральным. (В принципе A может быть любым числом, задаваемым исследователем.)

На практике принято использовать не сам первый момент, а нормированную его величину R₁ = m₁/σ¹.

Первый момент указывает на центр тяжести в геометрии распределения, см. рис. 34.1.

Рис. 34.1. Характерное положение первого момента на графике распределения статистической величины

Второй момент (или дисперсия, разброс) вычисляется так:

Вы знакомы с понятием среднеквадратичного отклонения, связанным со вторым моментом:

На практике принято использовать не сам второй момент, а нормированную его величину R₂ = m₂/σ².

Дисперсия характеризует величину разброса экспериментальных данных относительно центра тяжести m₁. Таким образом, по величине m₂ можно судить о втором параметре геометрии распределения (см. рис. 34.2).

Рис. 34.2. Характерное изменение вида распределения статистической величины в зависимости от величины второго момента

Третий момент характеризует асимметрию (или скошенность) (см. рис. 34.3) вычисляется так:

На практике принято использовать не сам второй момент, а нормированную его величину R₃ = m₃/σ³.

Рис. 34.3. Характерное изменение вида распределения статистической величины в зависимости от величины третьего момента

Определяя знак R₃, можно определить, есть ли асимметрия у распределения (см. рис. 34.3), а если есть (R₃ ≠ 0), то в какую сторону.

Четвертый момент (см. рис. 34.4) характеризует эксцесс (или островершинность) и вычисляется так:

Нормированный момент равен: R₄ = m₄/σ⁴.

Рис. 34.4. Характерное изменение вида распределения статистической величины в зависимости от величины четвертого момента

Очень важным является выяснение того, на какое распределение более всего походит полученное экспериментальное распределение случайной величины. Оценка степени совпадения эмпирического закона распределения с теоретическим проводится в два этапа: определяют параметры экспериментального распределения и далее производят оценку по Колмогорову соответствия экспериментального распределения выбранному теоретическому.