Распределение Пуассона

Биномиальное распределение

Распределение Бернулли

Типовые распределения дискретных случайных величин

Определение3.1: Случайная величина X, принимающая два значения 1 и 0 с вероятностями (“успеха”) p и (“неуспеха”) q, называется Бернуллиевской:

, где k=0,1.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться или не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна p (следовательно, вероятность непоявления q = 1 - p).

Рассмотрим случайную величину X – число появлений события A в этих испытаниях. Случайная величина X принимает значения 0,1,2,…n с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли: , где k = 0,1,2,…n.

Определение3.2: Биномиальным называют раcпределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.

Пример.По мишени производится три выстрела, причем вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Рассматривается случайная величина X – число попаданий в мишень. Найти ее ряд распределения.

Решение: Случайная величина X принимает значения 0,1,2,3 с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли, где n = 3, p = 0,8 (вероятность попадания), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (вероятность непопадания).

Тогда

,

Таким образом, ряд распределения имеет следующий вид:

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, поэтому для подсчета соответствующих вероятностей используют локальную теорему Лапласа, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Определение3.3: Дискретную случайную величину называют Пуассоновской, если ее закон распределения имеет следующий вид:

,где и (постоянное значение).

Примеры Пуассоновских случайных величин:

1. Число вызовов на автоматическую станцию за промежуток времени T.
2. Число частиц распада некоторого радиоактивного вещества за промежуток времени T.
3. Число телевизоров, которые поступают в мастерскую за промежуток времени T в большом городе.
4. Число автомобилей, которые поступят к стоп-линии перекрестка в большом городе.