Гипергеометрическое распределение

Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна p ( 0 < p < 1) и , следовательно, вероятность его непоявления

q = 1 - p. Испытания заканчиваются, как только появится событие А. Таким образом, если событие А появилось в k-м испытании, то в предшествующих k – 1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через Х дискретную случайную величину – число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями Х являются натуральные числа х₁= 1, х₂= 2, …

Пусть в первых k-1 испытаниях событие А не наступило, а в k-м испытании появилось. Вероятность этого “сложного события”, по теореме умножения вероятностей независимых событий, P ( X = k ) = q ^k-1p.

Определение3.4:Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если ее закон распределения имеет следующий вид:

P ( X = k ) = q ^k-1p , где .

Замечание1: Полагая k = 1,2,…, получим геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q (0< q <1). По этой причине распределение называют геометрическим.

Замечание2: Ряд сходится и сумма его равна единице. Действительно сумма ряда равна .

Пример.Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель p = 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение: По условию p = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Искомая вероятность равна:

P ( X = 3 ) = 0,4²·0,6 = 0,096.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть в партии из N изделий имеется M стандартных (M<N). Из партии случайно отбирают n изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причем отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию (поэтому формула Бернулли здесь не применима).

Обозначим через X случайную величину – число m стандартных изделий среди n отобранных. Тогда возможными значениями X будут 0, 1, 2,…, min (M,n).

Используя классическое определение вероятности, получаем, что вероятность того, что среди n отобранных изделий ровно m стандартных будет равна

.

Определение3.5: Дискретная случайная величина имеет гипергеометрическое распределение, если ее закон распределения имеет следующий вид:

, где m=0, 1, 2,…, min (M,n).

Пример.Среди 50 изделий 20 окрашенных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 5 изделий окажется ровно 3 окрашенных.

РешениеПо условию задачи, N = 50, M = 20, n = 5, m = 3. Искомая вероятность