Условия выпуклости второго порядка

Примеры выпуклых функций

1. Пусть функция f(x) выпукла на выпуклом множестве Х, и Тогда функция также выпукла на множестве Х.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим

Так как выражение внутри квадратной скобки неотрицательно, то

что и означает выпуклость функции .

2. Пусть функции выпуклы на выпуклом множестве Х, тогда функция также выпукла на множестве Х.

Достаточно доказать утверждение для случая m = 2. Для общего случая доказательство затем легко проводится методом математической индукции.

Рассмотрим

Таким образом, то есть функция h(x) выпукла.

Теорема. Пусть функция f(x) дважды дифференцируема на выпуклом множестве X. Тогда для того чтобы функция f(x) была выпуклой на множестве X необходимо и достаточно, чтобы матрица вторых производных H(x) функции f(x) (матрица Гессе) была положительно определенной для всех

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f(x) выпукла на множестве X, и точки Обозначим Тогда функцию одной переменной можно разложить по формуле Тейлора (Маклорена)

(1)

По необходимому и достаточному условию выпуклости первого порядка

Поэтому Поделим это неравенство на и перейдем к пределу при , после чего получим неравенство , верное для всех Отсюда следует, что матрица H положительно определена.

Достаточность. Пусть матрица H положительно определена для всех Тогда по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для всех

где

Поэтому Отсюда по необходимому и достаточному условию выпуклости первого порядка следует, что функция f(x) выпукла на множестве X.