Условия выпуклости первого порядка дифференцируемой функции

Неравенство Йенсена

Теорема. Если функция f(x) выпукла на выпуклом множестве X, и , , то .

Доказательство. По определению выпуклой функции

где

Аналогичным образом получаем:

где ,

где ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

где .

Из этой цепочки неравенств получаем формулу .

Теорема. Для того чтобы дифференцируемая на выпуклом замкнутом множестве X функция f(x) была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

(1)

Замечание. Запишем (1) в виде Слева записано выражение для касательной гиперплоскости к поверхности (или к графику функции ). Поэтому теорему можно переформулировать так. Для того чтобы дифференцируемая на выпуклом замкнутом множестве X функция f(x) была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы график функции f(x) на множестве X располагался не ниже касательной гиперплоскости в точке .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f(x) выпукла на множестве X. Запишем неравенство из определения выпуклости в несколько ином виде. Для этого рассмотрим

Таким образом, имеем:

Перенесем в левую часть и разделим полученное неравенство на :

(2)

После предельного перехода при в левой части получим производную по направлению вектора :

Поэтому неравенство (2) примет вид (1).

Достаточность. Пусть имеет место неравенство (1). Построим функцию одной переменной

Производная этой функции

(3)

Возьмем . Рассмотрим 2 точки:

Из (1) имеем:

Откуда с учетом (3) получаем:

Аналогично после замены получаем:

Складывая эти два неравенства, имеем:

Так как , то то есть производная монотонно возрастает. А это означает выпуклость функции u(h).

Для завершения доказательства рассмотрим

Так как это неравенство верно для всех , то функция f(x) является выпуклой на множестве Х.