Свойства выпуклых функций

Теорема. Сумма выпуклых на выпуклом множестве Х функций является выпуклой функцией.

Доказательство. Пусть функции и - выпуклые функции на множестве Х. То есть и выполняются неравенства

Сложив эти неравенства, для функции получаем:

Заметим, что теорема будет справедливой и в случае суммы произвольного конечного числа выпуклых функций.

Замечание. Легко видеть, что в n-мерном евклидовом пространстве линейная функция , где р – некоторый заданный вектор, с – действительное число, удовлетворяет одновременно неравенствам (1) и (). То есть линейная функция является одновременно и выпуклой и вогнутой функцией.

Теорема. Для того чтобы квадратичная функция где В – симметрическая матрица, была выпуклой в , необходимо и достаточно, чтобы матрица В была положительно определенной.

Доказательство. Рассмотрим

Добавим и вычтем в правой части

(3)

1) Необходимость. Пусть функция выпукла. Тогда согласно (1)

то есть матрица В положительно определена.

2) Достаточность. Пусть матрица В положительно определена. Тогда с учетом (3) будет выполняться неравенство (1), то есть функция выпукла.

Следствие. Для того чтобы квадратичная функция где В – симметрическая матрица, была выпуклой в , необходимо и достаточно, чтобы матрица В была положительно определенной.

Доказательство. Поскольку для линейной функции и выполняется равенство то для рассматриваемой квадратичной функции справедливо равенство (3). Поэтому доказательство следствия совпадает с доказательством теоремы.

Замечание. Очевидно, что для строгой выпуклости квадратичной функции необходимо и достаточно, чтобы матрица В была строго положительно определенной.

Теорема. Выпуклая на выпуклом множестве X функция f(x) является непрерывной в каждой внутренней точке множества X.

Теорема. Выпуклая на выпуклом множестве X функция f(x) имеет в каждой внутренней точке производную по любому направлению a: