Элементы теории подобия, применяемые в моделировании

При разработке экологических моделей часто используется подход так называемого условного моделирования.

Условное моделирование — это замещение оригинала условной моделью, представляющей его только благодаря определенной до­говоренности о смысле, приписанном этой модели. Условными яв­ляются, прежде всего, знаковые модели. Знак или символ — это искусственный образ, чисто условно обозначающий вполне опреде­ленный объект и, как правило, не имеющий с этим объектом ника­кого сходства.

Отдельный знак — условная простейшая модель с ограничен­ными моделирующими возможностями. Он условно обозначает вещь, явление, действие, событие, свойство и т.д., однако, в случае при­менения нескольких знаковых моделей, т.е. системы знаков, эти возможности резко возрастают.

Условными являются также образно-знаковые модели, которые отличаются наглядностью и могут обладать определенным сходством с оригиналом, например схемы с указанием входов и выходов. К знаковым и образно-знаковым моделям относят все математические формы выражения количественных отношений между переменны­ми и постоянными величинами (функции, уравнения, графики, таб­лицы, алгоритмы).

При описании материальных объектов и составлении знаковых моделей приходится иметь дело с количественными отношениями. В описании материальных объектов в общем случае физическая величи­на X— это некоторое свойство материального объекта, допускающее количественное выражение, например: длина L, объем V, масса М. Вообще количественное выражение физической величины Х вконк­ретном материальном объекте можно записать через X— это размер данной физической величины.

Для определения размера X, физической величины данного объек­та, требуется измерить этот размер, т.е. сравнить его с некоторой мерой {х} той же физической величины другого объекта, принятого за единицу. В результате измерения устанавливается числовое зна­чение х размера X

и размер выражается через числовое значение х и единицу {х},

Х = х{х).

Символы X, х {х} моделируют размер, числовое значение и единицу физической величины X. Знак « = » означает равенство объектов-оригиналов, символические модели которых расположены справа и слева от него. Логическое соединение символов мы назы­ваем формулами.

Говорить о равенстве тех или иных объектов можно, только если они однородны. В случае однородности объектов-оригиналов говорят и об однородности их символических моделей. Размер Х независит от единицы {х}. От единицы зависит только числовое зна­чение этого размера.

Физические величины, определяющие те или иные параметры экологических объектов, размеры единиц которых выбираются про­извольно, называются основными. Единицы измерения всех осталь­ных физических величин выражают через основные единицы и на­зывают произвольными. Совокупность основных и произвольных единиц составляют сис­тему единиц измерения.

Произвольную единицу физической величины можно опреде­лить символически в двух формах.

Первая выражает производную единицу через единицы физических величин определяющего уравнения и раскрывает ее физический смысл. По существу она является конкретным пред­ставлением размера X.

Вторая форма выражает производную единицу через основ­ные единицы, не раскрывает ее физического смысла, имеет не­сколько абстрактный характер, но отличается определенной сущно­стью для всех физических величин. Эту форму представления про­изводной единицы называют размерностью и обозначают {х}. Раз­мерность — это символическое выражение величины через основ­ные единицы, показывающие соотношение между их размерами без указания этих размеров.

Величина называется безразмерной, если ее размерность равна единице.

Аналогия — это сходство различных объектов по некоторым признакам. Объекты, сходные по соответствующим признакам, на­зываются аналогами, а признаки, по которым объекты оказываются аналоговыми, называют сходственными. Сходственные признаки могут иметь качественный и количественный характер. В зависи­мости от этого различают качественную, количественную и смешан­ную аналогии.

Основное свойство аналогии состоит в возможности перено­са сведений с одного объекта на другой (аналог) на основании умозаключения по аналогии.

Умозаключения по аналогии основано на предположении суще­ствования тождественного в различном и выполняется по схеме в последовательности:

1. Установлено, что объект О₁, обладает свойствами С_о, С₁, .., С_n , В₀, B₁ ..., В_к.

2.Установлено, что объект О₂, обладает свойствами С₁, С₂, ...,С_n; G₁ G₂, ..., G_n.

3.Возможно, что объект О₂ обладает свойством С_о, как и объект О₁

4.Однако очевидно, что если среди G₁, G₂, ..., G_n есть хотя бы одно свойство, не совместимое с С_о, то сходство объектов по свойствам С₁ С₂, …,С_п, не имеет значения.

Аналогия позволяет перейти к понятию подобия, обеспечива­ющему строгий пересчет данных модели в данные оригинала. Здесьимеется в виду важнейший вид количественной аналогии — ана­логии математической, т.е. сходство объектов по их математичес­кому описанию. Наиболее полная математическая аналогия имеет место, если объекты описываются сходными функциями и урав­нениями.

Сходственные функции различаются только аргументами и не­нулевыми постоянными, например:

Z = х cos у; U = 2 cos 3р Ψ = 4S cos (5t-6); Q = 7k cos (8e + 6).

Сходственными являются первая и вторая, третья и четвертая функции, т.е. это переменные величины, входящие под знаки сход­ственных функций совершенно одинаковым образом. По аналогии с этим можно говорить о сходственных постоянных, когда сход­ственные уравнения получаются приравниванием к нулю или друг к другу.

Аналоговое моделирование — это замещение оригинала анало­гичной моделью, обладающей сходством с оригиналом, достаточ­ным для экстраполяции ее свойств и отношений в свойства и отно­шения оригинала на основании умозаключения по аналогии. Такое моделирование используется обычно при слабой изученности ори­гинала, когда имеющиеся сведения о нем носят качественный ха­рактер.

Особое значение среди математических моделей имеют подоб­ные, обеспечивающие перенос данных на оригинал на основании подобия.

Модели подобия— это полная математическая аналогия при наличии пропорциональности между сходственными переменными, неизменно сохраняющаяся при всех возможных значениях сход­ственных уравнений.

Математическое описание конкретного объекта (его расчетная модель) может иметь разнообразную форму. В самом простейшем случае это явная функция, выражающая переменную через ее аргу­менты х:

Y= f(_Xl, х₂,..., х_n)

При этих условиях сходственные уравнения и функции, описы­вающие математические аналогии, а также содержащиеся в них сход­ственные переменные называются подобными. Подобные функции могут быть изображены в пространстве подобных переменных одной и той же кривой или поверхностью. В частном случае возможны геометрическое, физическое и временное подобия:

• геометрическое — это подобие геометрических образов (точек, линий, фигур, тел);

• физическое — подобие физически однородных объектов;

• временное — подобие функций времени.

В случае временного подобия безразмерный масштаб времени представляет отношение сходственных временных интервалов, ко­торым соответствует неизменное отношение значений или прира­щений подобных временных функций

Понятие геометрического подобия или подобия геометрических образов в теории моделирования понимается в более широком смыс­ле, чем это обычно принято. Самое общее определение его вытекает из понятия подобия функций, описывающих геометрические обра­зы. Два образа геометрически подобны в широком смысле, если при соответствующем расположении этих образов в некоторой системе координат подобны их математические описания.