т.е. двоичное число 101110,101 равно десятичному числу 46,625.
В вычислительных машинах применяются две формы представления двоичных чисел:
· естественная форма или форма с фиксированной запятой (точкой);
· нормальная форма или форма с плавающей запятой (точкой).
С фиксированной запятой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной.
Пример 1.3. В десятичной системе счисления имеются 5 разрядов в целой части числа (до запятой) и 5 разрядов в дробной части числа (после запятой); числа, записанные в такую разрядную сетку, имеют вид:
+00721,35500; +00000,00328; -10301,20260.
Эта форма наиболее проста, естественна, но имеет небольшой диапазон представления чисел и поэтому не всегда приемлема при вычислениях.
Пример 1.4. Диапазон значащих чисел (N) в системе счисления с основанием Р при наличии m разрядов в целой части и s разрядов в дробной части числа (без учета знака числа) будет:
Р-s ≤ N ≤ Рm- P-s.
При Р=2, m=10 и s = 6: 0,015≤ N≤ 1024.
Если в результате операции получится число, выходящее за допустимый диапазон, происходит переполнение разрядной сетки, и дальнейшие вычисления теряют смысл. В современных ЭВМ естественная форма представления используется как вспомогательная и только для целых чисел.
С плавающей запятой каждое число изображается в виде двух групп цифр. Первая группа цифр называется- мантиссой, вторая- порядком, причем абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок - целым числом.
В общем виде число в форме с плавающей запятой может быть представлено так:
N=±MP±r,
где М-мантисса числа (|М| < 1);
r- порядок числа (r- целое число);
Р- основание системы счисления.
Пример 1.5. Приведенные в примере 4.3 числа в нормальной форме запишутся так:
+0,721355*103; +0,328* 10-3; -0,103012026*105.
Нормальная форма представления имеет огромный диапазон отображения чисел и является основной в современных ЭВМ.
Пример 1.6. Диапазон значащих чисел в системе счисления с основанием Р при наличии m разрядов у мантиссы и s разрядов у порядка (без учета знаковых разрядов порядка и мантиссы) будет:
P-m*P-(P-1) ≤ N ≤ (1-P-m)*P(P-1).
При P=2, m=10 и s=6 диапазон чисел простирается примерно от 10-19 до 1019 .
Знак числа обычно кодируется двоичной цифрой, при этом код0 означает знак "+", код 1 -знак "-".
Примечание. Для алгебраического представления чисел (т.е. для представления положительных и отрицательных чисел) в машинах используются специальные коды: прямой, обратный и дополнительный. Причем два последних позволяют заменить неудобную для ЭВМ операцию вычитания на операцию сложения с отрицательным числом, дополнительный код обеспечивает более быстрое выполнение операций, поэтому в ЭВМ применяется чаще именно он.
Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных ЭВМ ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно. Она используется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения машины, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами (табл. 1) и в таком виде записываются последовательно друг за другом.
Таблица 1. Таблица двоичных кодов десятичных и шестнадцатеричных цифр.
Цифра
А
В
С
D
E
F
Код
Пример 1.7. Десятичное число 9703 в двоично-десятичной системе выглядит так:
1001011100000011.
При программировании иногда используется шестнадцатеричная система счисления, перевод чисел из которой в двоичную систему счисления весьма прост - выполняется поразрядно (полностью аналогично переводу из двоично-десятичной системы).
Для изображения цифр, больших 9, в шестнадцатеричной системе счисления применяются буквы А=10, В=11, С=12, D=13, Е=14, F=15.
Пример 1.8. Шестнадцатеричное число F17B в двоичной системе выглядит так:
