Определения предела функции.

Лекция 12. Предел функции.

Пусть задана функция , определённая на множестве . Пусть имеется точка a, быть может и не принадлежащая , но такая, что в любой -окрестности точки a имеются точки множества , отличные от a. Например: , точка a не принадлежит , но любая -окрестность содержит точки, принадлежащие и отличные от a.

Определение 12.1 (определение предела функции по Гейне). Число b называется пределом (или предельным значением) функции в точке a (или при ), если для любой последовательности значений аргумента , сходящейся к a и состоящей из чисел , отличных от a, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу b.

Определение 12.2 (определение предела функции по Коши). Число b называется пределом функции в точке a, если для любого сколь угодно малого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех значений аргумента x, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство .

Обозначается предел функции следующим образом:

или при .

♦ Утверждение 12.1. Определения 12.1 и 12.2 эквивалентны.

☼ Замечание 12.1. Элементы последовательности должны быть отличны от a: функция может быть не определена в точке a. Определение 12.1 явно содержит это требование, в определении 12.2 неравенствоозначает. ☼

J Пример 12.1. . J

☼ Замечание 12.2. Функция может иметь в точке a только один предел, так как имеется единственный предел последовательности в определении 12.1, а определение 12.2 эквивалентно определению 12.1. ☼

J Пример 12.2. 1) . , так как любая последовательность , сходящаяся к числу a, порождает последовательность .

2) . , так как последовательности и совпадают.

3) – функция Дирихле, – не имеет предела: для рациональных чисел при , для иррациональных при . Это противоречит определению 12.1. J

Определение 12.3.Число b называется правым (левым) предельным значением функции в точке , если для любой последовательности значений аргумента , сходящейся к a, элементы которой больше (меньше) a, соответствующая последовательность значений функции сходится к b.

Обозначения: или для правого предельного значения,

или для левого предельного значения.

J Пример 12.3. Для функции правое предельное значение и левое предельное значение . J

♦ Утверждение 12.2.Если в точке a правое и левое предельные значения функции равны, то в точке a существует предельное значение этой функции, равное указанным односторонним предельным значениям.

Доказательство.Пусть последовательность : (для любого n).Пусть подпоследовательность состоит из всех , аподпоследовательность из всех .По условию: : ;, ; , .Так как и , то есть неравенствами охвачены все элементы , то при всех выполняется неравенство. ■

Определение 12.4. Число b называется пределом функции при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к b.

Обозначение: .

Определение 12.5. Число b называется предельным значением функции при стремлении аргумента x к положительной (отрицательной) бесконечности, если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой, начиная с некоторого номера, положительны (отрицательны), соответствующая последовательность сходится к b.

Обозначение: .

♦ Теорема 12.1 (критерий Коши существования предела функции в точке a). Для того, чтобы функция имела в точке a конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы в точке a функция удовлетворяла условию Коши: для любого сколь угодно малого найдется такое, что для любых двух значений аргумента и , удовлетворяющих условиям ; , справедливо неравенство .