Полярные координаты.

Классификация функций.

Определение 11.10.Функция называетсяявной,если она заданаформулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной. Например .

Функция у аргумента х называется неявной, если она задана уравнением , неразрешённым относительно зависимой переменной. Например, функция у , заданная уравнением .

Определение 11.11.Пусть есть функция от независимой переменной х, определённой на промежутке Х с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому единственное значение , при котором . Тогда полученная функция , определённая на промежутке Y с областью значений Х, называется обратной функцией. Так как традиционно независимую переменную обозначают через х, а функцию через у, то функция, обратная к функции , примет вид . Обратную функцию обозначают также в виде .

Для любой строго монотонной функции существует обратная функция. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Определение 11.12.Пусть функция есть функция от переменной u, определённой на множестве U с областью значений Y, а переменная u в свою очередь является функцией от переменной х, определённой на множестве Х с областью значений U. Тогда заданная на множестве Х функция называется сложной функцией (или композицией функций).

Из основных функций новые функции могут быть получены при помощи алгебраических действий и операций образования сложной функции.

Определение 11.13.Функции, построенные из основных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными функциями.

Например, функция является элементарной, так как здесь число операций алгебраических действий и образования сложной функции конечно.

Примерами неэлементарных функций являются функции , , функция Дирихле.

Определение 11.14.Функция называетсяалгебраической,если над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся целая рациональная функция (многочлен) ; дробно-рациональная функция – отношение двух многочленов; иррациональная функция – в составе операций над аргументом имеется извлечение корня.

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных относятся функции: показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические, функция Дирихле и т.п.

Определение 11.15.Если на некотором множестве заданы две функции и , то множество всех точек на плоскости хОy с координатами , где , называется кривой, заданной параметрически. Кривая, заданная параметрически, является графиком функции, заданной параметрически.

J Пример 11.4.1)Рассмотрим астроиду. Данная кривая является графиком функции заданной параметрически (рис. 11.6).

Рис. 11.6.

2) Рассмотрим циклоиду, она является графиком параметрически заданной функции Эта функция описывает траекторию точки на окружности, катящейся без скольжения по прямой линии (рис. 11.7).

Рис. 11.7.

J

Возьмём на плоскости (рис. 11.8) произвольную точку О (полюс) и проведём луч ОХ (полярная ось). Примем какой-либо отрезок ОА за единицу длины и радиан за единицу измерения углов. Тогда положение любой точки М на плоскости можно задать двумя числами: положительным числом , выражающим длину отрезка ОМ (полярный радиус) и числом , выражающим величину угла ХОМ (полярный угол). Числа и называются полярными координатамиточки М.

На рис. 11.8 полярные координаты определяют точку N, полярные координаты – ту же точку N. Полярные координаты , (также , и т.д.) определяют точку A. Каждой паре значений отвечает только одна точка M, но одной и той же точке M отвечает бесчисленное множество значений полярного угла, отличающихся друг от друга на число, кратное . Если же точка M совпадает с полюсом, то значение полярного угла остаётся произвольным.

Рис. 11.8.

Условно выделяется главное значение полярного угла. Точке соответствует главное значение полярного угла . При введении главных значений каждой точке (кроме полюса) отвечает одна пара полярных координат. Для полюса , остаётся произвольным.

Связь между полярными и прямоугольными координатами определяется следующими формулами (рис. 11.9): , . (11.1) И обратно: , , . (11.2)
Рис. 11.9.

J Пример 11.5. 1)Дана точка . Найдём её полярные координаты:

, , .

Таким образом, угол и в полярной системе координат точка .

2) Представим уравнение окружности , заданное в прямоугольной системе хОy, в полярной системе координат. Используя формулы (11.1), получаем или .

3) Определим, какую линию представляет уравнение .

Переходя к прямоугольным координатам по формулам (11.2), находим , то есть или . Получили уравнение окружности радиуса а, проходящей через полюс О и касающейся полярной оси ОХ (рис. 11.10).J
Рис. 11.10.

J Пример 11.6. Рассмотрим несколько кривых, которые описываются функциями, заданными в полярной системе координат.

Трёхлепестковая роза описывается уравнением .	Кардиоида описывается уравнением .
Лемниската Бернулли: .	Спираль Архимеда. Её уравнение: .

J