Основные характеристики функции.

Способы задания функций.

Существует несколько способов задания функции: аналитический, графический, табличный, словесный.

Аналитический способ описывает функцию формулой. Например:

а) ,
б) ,
в) ,
г)

Не следует смешивать функцию с её аналитическим выражением. В данном примере одна функция имеет два аналитических выражения: при и при . На рис. 11.1 изображён график этой функции.

Рис. 11.1.

Словеснымспособом задаются специальные функции. Например, функция Дирихле функция сигнум (знак х) Эту функцию можно описать и графическим способом (рис. 11.2).

Рис. 11.2.

Графический способ состоит в изображении графика функции – множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения функции .

Функция «целая часть х» задается особой формулой: , где – антье (от фр. entire – целый), и графическим способом (рис. 11.3).

Рис. 11.3.

Табличный способзадаёт функцию таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения функции , например, таблица логарифмов.

Определение 11.5.Пусть функция определена на множестве Х и для также принадлежит множеству Х. Тогда функция называется чётной, если выполняется условие и нечётной, если . График чётной функции симметричен относительно оси ординат, график нечётной функции симметричен относительно начала координат.

J Пример 11.1. а) , – чётные функции; б) , – нечётные функции; в) – ни чётная, ни нечётная функция.J

Определение 11.6.Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Пусть и . Тогда функция возрастает на промежутке Х, если и убывает, если .

Если , то функция называется неубывающей, если – невозрастающей.

Все названные функции называются монотонными функциями.

Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными функциями.

Определение 11.7.Функция , определённая на множестве Х, называется ограниченной на этом множестве, если существует положительное число С такое, что для любого справедливо неравенство .

J Пример 11.2. Функция ограничена на R, т.к.

. J

Геометрически ограниченность функции означает, что её график находится внутри некоторой горизонтальной полосы (рис. 11.4).

Рис. 11.4.

Определение 11.8.Функция называетсяпериодическойс периодом , если для любых х из области определения функции .

Определение 11.9. Точка называется точкой локального максимума функции , , если существует интервал , , содержащийся в Х и такой, что для каждого х из этого интервала имеет место неравенство .

Точка называется точкой локального минимума функции , , если существует интервал , , содержащийся в Х и такой, что для каждого х из этого интервала имеет место неравенство .

Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума функции.

J Пример 11.3.Рассмотрим функцию .

Имеем: Построим график (рис. 11.5).

Рис. 11.5.

Функция убывает на и возрастает на . В точке функция имеет локальный минимум. J