Понятие функции (отображения).

Лекция 11. Функция одной переменной.

Определение 11.1. Пусть дано множество и . Если указан некоторый способ f каждому элементу поставить в соответствие элемент , тогда соответствие (или ) называется функцией с областью определения X и областью значений Y.

x – независимая переменная, аргумент;

y – зависимая переменная, значение функции.

☼ Замечание 11.1. Определение 11.1 не требует, чтобы каждый был значением при некотором и чтобы разным x соответствовали разные y. В этом случае имеем взаимно однозначное соответствие, функция однозначна. ☼

Определение 11.2. Если область значений Y функции есть числовая ось R (расширенная числовая ось ), то называют числовой функцией или функцией вещественного переменного. Если Y есть векторное пространство , то функция называется векторной функцией. Если X есть множество натуральных чисел N, то функция , обозначаемая или f_n, называется последовательностью точек множества Y.

☼ Замечание 11.2. Последовательность точек множества не сводится к понятию подмножества: в последовательности точки могут повторяться, а в подмножестве нет.

Так, например, если , с – подмножество, состоящее из одного элемента, а последовательность имеет бесконечно много элементов.☼

Определение 11.3. Прямым произведением множеств X и Y назовём множество всех пар , где первый элемент взят из X, второй - из Y.

.

Подмножество при фиксированном y₀ называется слоем в , отвечающим элементу y₀. .

– множество всех отображений : .

Определение 11.4. Графиком функции с областью определения X и областью значений Y назовем подмножество прямого произведения , состоящее из тех пар , для которых , то есть .

При и имеем обычное определение графика вещественной функции числового аргумента.