В аддитивном критерии оптимальности

Способы назначения весовых коэффициентов

Для равноценных критериев, то есть критериев, для которых невозможно установить приоритет по важности, значения весовых коэффициентов выбираются одинаковыми [41]

.

Для неравноценных критериев, то есть критериев, для которых ЛПР может установить приоритет по важности, значения весовых коэффициентов выбираются в соответствии с важностью критерия.

, .

Рассмотрим некоторые способы и числовые приемы, позволяющие по информации о качестве значений частных критериев оптимальности определять значения весовых коэффициентов .

Способ 1.Для каждого частного критерия оптимальности , вычисляется коэффициент относительного разброса

,

где , который определяет максимально возможное отклонение по -му частному критерию. Весовые коэффициенты получают наибольшее значение для тех критериев, относительный разброс которых в области наиболее значителен

.

Пример 1.В качестве примера рассмотрим конкретную числовую задачу в следующей постановке:

,

которая с помощью метода взвешенных сумм сводится к минимизации следующей функции:

.

При этом имеем следующие значения промежуточных вычислений:

Тогда весовые коэффициенты будут иметь следующие значения:

,

.

Определим зависимость точки минимума функции от коэффициентов и. .

+.

Это выражение представляет собой квадратичную функцию (), которая достигает минимум в точке . Для найденных числовых значений и будем иметь:

,

и соответственно

, .

Способ 2.Пусть все , тогда рассматриваются коэффициенты

,

которые характеризуют отклонение частного критерия оптимальности от его наименьшего значения.

Предположим, что важность -го критерия оптимальности зависит от выполнения неравенства

. (1.4)

Здесь величины задаются ЛПР из условия, что чем важнее критерий, тем меньше выбирается значение .

Пусть - наибольший радиус шара, построенного около точки минимума - -го критерия оптимальности, внутри которого точки (шар радиуса с центром в ) удовлетворяют условию (1.4).

Тогда , при условии .

Теперь очевидно, что чем больше радиус шара , в котором относительное отклонение -го критерия от его минимального значения не превосходит , тем меньше надо выбирать значение весового коэффициента :

.

Пример 2. Рассмотрим задачу из примера 1 иположим, что ЛПР задал , . Тогда будем иметь

при ,

при .

Откуда .

Способ 3.Теоретико-игровая модель выбора весовых коэффициентов. Пусть имеется частных критериев оптимальности , для которых нельзя заранее установить количественное отношение предпочтения по важности с помощью весовых коэффициентов .

Введем меру

.

Эта величина определяет относительное отклонение оптимального значения -го критерия от его значения, которое получено при оптимальном решении для -го критерия , где

Очевидно, что .

Построим матрицу из величин , где строкам соответствуют оптимальные решения по каждому частному критерию , а столбцам – оптимальные значения частных критериев

(1.5)

Будем рассматривать матрицу (1.5) как матрицу платежей в игре двух лиц с нулевой суммой. Партию этой игры можно представить следующим образом:

первый игрок выбирает одно из оптимальных решений (это чистая стратегия игрока 1), а второй игрок независимо от выбора первого игрока выбирает любой критерий (это чистая стратегия второго игрока). В связи с тем, что все , первый игрок платит второму штраф , то есть каждый элемент матрицы (12) представляет проигрыш первого игрока в случае выбора им решения , а вторым игроком критерия .

Очевидно, что первый игрок стремится добиться

,

то есть стремится минимизировать за счет выбора значений проигрыш, который следует ожидать по отношению ко всем возможным значениям критериев .

Представим себе, что такая игра разыгрывается многократно. При этом первый игрок чистые стратегии выбирает

.

Второй игрок выбирает чистые стратегии с вероятностью

.

Смешанную оптимальную стратегию игры (m´n) второго партнера можно найти из задач линейного программирования [44]

Пусть решение задачи, тогда оптимальная смешанная стратегия второго игрока определяется, как

. (1.6)

Полученные значения и являются весовыми коэффициентами, определяющими относительную важность -го критерия оптимальности.

Запишем целевую функцию задачи в виде аддитивного критерия оптимальности

, (1.7)

где ненормализованные критерии взвешиваются множителями .

Положим и зададим вектор весовых коэффициентов

. (1.8)

Тогда эффективная точка может быть найдена путем решения задачи оптимизации , где определяются из (1.6), (1.7), (1.8), причем - оптимальное решение задачи линейного программирования, .

Пример 3. Рассмотрим числовую задачу из примера 1, где было задано

, , ,, .

По этим данным построим матрицу из величин , произведя соответствующие расчеты:

В результате будет получена матрица, имеющая вид:

.

Далее запишем задачу линейного программирования

.

Используя решение задачи линейного программирования, определим эффективную точку заданной функции:

.

Минимум этой функции достигается в точке

.

Для определения первоначально из формулы (1.6) находим

а из зависимости (1.7) рассчитаем

По формуле (1.8) находим и :

По результатам сделанных расчетов минимум функции достигается в точке

.

Способ 4.Информация, содержащаяся в матрице (1.5) может быть использована для выбора весовых коэффициентов следующим образом.

Рассмотрим -й столбец матрицы, где указаны относительные значения -го критерия, достигнутые при оптимальных решениях, других критериев. Если в -м столбце все элементы невелики, то есть мало отличаются от оптимального значения -го критерия, то значение весового коэффициента может быть взято небольшим по величине. Если в -м столбце значения сильно отличаются от , то есть элементы имеют большие значения, то весовой коэффициент должен быть взят большим. На этих соображениях основан следующий способ выбора весовых коэффициентов.

Для каждого столбца матрицы (1.5) находим максимальный и минимальный (ненулевой) элементы:

Вычисляется разность между экстремальными элементами -го столбца:

,

и значения весовых коэффициентов выбираются пропорционально полученным значениям по формуле

/ .

Пример 4. Дана матрица из величин

.

Тогда , , и соответственно вектор будет определен как .

Способ 5. Назначение весовых коэффициентов по численным значениям попарных приоритетов. В некоторых случаях информация о важности частных критериев оптимальности может быть задана по бальной шкале в виде числовых оценок приоритетов между двумя частными критериями и .

Пусть ЛПР задал дискретный ряд значений бальных оценок, например , и определил по этой шкале сравнительную важность двух критериев оптимальности и следующим образом:

.

При этом чаще всего a=1.

По имеющейся информации о степени предпочтения по важности каждой пары частных критериев оптимизации составлена матрица размером , каждый элемент которой образуется следующим образом: в -ю строку на место -го столбца ставится числитель оценки, а в -ю строку на место -го столбца – 1

В последнем столбце матрицы для каждой строки находится сумма оценок по столбцам , которая характеризует суммарную важность -го критерия относительно всех остальных частных критериев.

Очевидно, что частным критериям, имеющим большую суммарную оценку , должен соответствовать больший весовой коэффициент . Это предположение позволяет находить весовые коэффициенты по следующей формуле:

.

Пример 5. Имеется векторный критерий . Предположим, что по бальной шкале (1,3,7,14) ЛПР указал следующие числовые оценки приоритетов:

Матрица имеет вид:

.

Из матрицы получаем численные значения весовых коэффициентов, определяющие относительную важность каждого частного критерия оптимальности: .

Способ 6. Метод экспертных оценок для выбора весовых коэффициентов. Алгоритм индивидуальной экспертизы заключается в систематической проверке суждений об отношениях предпочтения для оцениваемых критериев путем последовательных сравнений и состоит из следующих этапов

Этап 1. ЛПР осуществляет ранжировку частных критериев в порядке убывания их предпочтительности, перенумеровывая критерии:

Этап 2. Критерию присваивается оценка . После чего ЛПР назначает другие величины , которые отражают его суждения об относительной важности частных критериев оптимальности.

Этап 3.Строится таблица вариантов логического выбора.

1 2 …

Вариант

……………..

Лицу, принимающему решение, предлагается рассмотреть столбцы с первого по сверху вниз и зафиксировать свои суждения при помощи отношений предпочтения или , ставя их вместо знака .

Если левая часть одного из вариантов какого-либо столбца предпочтительнее правой или эквивалентна, то переходим к первому варианту следующего столбца и так далее до последнего столбца.

Этап 4. ЛПР предлагается проставить оценки в таблицу. Если обнаруживается несоответствие, то оценки изменяются в минимально возможной степени так, чтобы достигнуть соответствия с решениями, зафиксированными в таблице. Проверка таблицы начинается с нижней строки последнего столбца.

Этап 5. По уточненным данным оценок вычисляются весовые коэффициенты.

.

Пример 6. Пусть имеется 5 частных критериев, которые ЛПР расположил в порядке убывания важности и указал следующие оценки важности:

.

Таблица вариантов имеет следующий вид:

1 2 3

Лицо, принимающее решение, высказал следующие суждения:

1) ;

2) ;

3) - переходим к первому варианту столбца 2;

4) ;

5) - переходим к столбцу 3;

6) .

Проверка (этап 4):

6) - несоответствие, увеличиваем до =3;

5) - несоответствие, увеличиваем ;

4) - соответствие;

3) - несоответствие, увеличиваем ;

2) - соответствие.

Получаем уточнение оценки:

.

Способ 6 (продолжение).Далее при помощи рассмотренной процедуры каждый из экспертов определяет значения , которые можно свести в матрицу экспертных оценок:

.

Простейший способ получения групповой оценки - это условие, что все эксперты равны, при этом вычисляются средние оценки

.

Однако на практике эксперты отличаются компетентностью, объективностью и информированностью. Для учета этих факторов введем весовые коэффициенты компетентности экспертов().

Тогда оценки вычисляются так:

.

Численные значения коэффициентов компетентности могут быть получены по информации о том, насколько оценки -го эксперта согласованы с оценками других экспертов. Для этого мы можем использовать следующую итерационную процедуру.

Начальное значение вектора компетентности выбирается из условия, что все эксперты равноправны:

.

Последующие итерации выполняются по формулам:

После нескольких итераций при выполнении условия

получается групповое решение о значениях коэффициентов с учетом компетентности экспертов.

Пример 7. Пусть имеем матрицу оценок, созданную N экспертами:

.

При предположении равноправности всех экспертов (N=3) для вектора коэффициентов компетентности можно записать

.

Тогда на 1-м шаге получаем следующие средние оценки для весовых коэффициентов :

.

Пересчитаем вектор коэффициентов компетентности с учетом полученных значений . Для этого вычислим вектор и получим, что. Тогда . Следовательно

.

Аналогично вычисляем , получаем .

.

Сравнивая и , видим, что с точностью до получена групповая оценка для весовых коэффициентов при условии, что компетентность экспертов оценивается вектором .