Уравнение совместности деформаций

Задача о составном стержне

Канонические уравнения метода сил

Методы раскрытия статической неопределимости

Наиболее часто для раскрытия статической неопределимости (решения задач) применяется метод сил. Его сущность заключается в следующем: дополнительно к имеющимся независимым уравнениям равновесия статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей, а их действие заменяется силами и моментами сил. Значения сил (моментов сил) подбирается так, чтобы перемещения соответствовали тем ограничениям, которые налагают отброшенные связи. Здесь неизвестные – силы, поэтому – «метод сил». Существуют другие методы: например, метод перемещений, в котором за неизвестные принимают не силы, а перемещения стержней.

Задачи решаются, если использовать дополнительные соотношения, вытекающие из условия совместности деформаций. Например, если дополнительно к уравнениям статики Sх = 0, Sу = 0, Sм =0 добавить уравнения совместности деформаций

DSF + DSR = 0 .

При использовании метода сил удобно составлять уравнения для определения неизвестных единообразно, в виде так называемых «канонических» уравнений.

Обозначим dik взаимное смещение точек системы, где

i – первый индекс- направление смещения,

к – второй индекс – обозначение силы, вызвавшей смещение.

Если применить принцип независимости действия сил, то сумма отдельных перемещений от действия всех сил (включая реакции отброшенных частей) будет равна нулю на каждом направлении, например, осей 1,2,3, (в том числе x,y,z). Уравнения примут вид: d1[Х1,Х2…Р] = d1Х1 + d1Х2 +…+d1Р = 0

d2[У1,У2…Р] = d2У1 + d2У2 +…+d2Р = 0

d3[Z1, Z2…Р] = d3Z1 + d1Z2 +…+d3Р = 0,

Здесь Х,У,Z –неизвестные, Р – заданные силы.

Если известны некоторые из сил, то число уравнений сократится.

При математическом решении уравнений dik имеет смысл коэффициента, определяемого как смещение в направлении i от силы К, равной 1

Найдем напряжения в стержне, закрепленном в двух сечениях. На участке КС стержень имеет жесткость Е1 А1 на участке СВ — жесткость E2 A2. Из статической части задачи находим Sх º 0,

Sy = Rk + RB - F = 0, т. е. задача один раз неопределима.

Рассмотрим геометрическую часть задачи. Освободив верхнюю опору, даем стержню возможность деформироваться.

Смещение точки К за счет сжатия участка ВС составит DF. Приложим реакцию Rk (неизвестная Х).Стержень вернется в исходное положение за счет растяжения участков ВС и СК суммарно на величину Dх , устранив D F .Тогда уравнение совместности деформаций DF + Dх = 0.

Величина деформаций по закону Гука

Решая совместно с уравнениями статики, получаем значения

RB = F – Rk

Из полученного ответа следует, что более жесткие элементы воспринимают большие нагрузки. Это является свойством статически неопределимых систем.