Диссипативные системы

Выводы

Dy(r,t)/dt = a21x + a22y + Dyk2y

Dx(r,t)/dt = a11x + a12y + Dxk2x

Случай быстрого перемешивания. В уравнении (1) xi не зависит от пространственных координат (r, u, v), в нашем случае положение точки в пространстве реактора задается величиной r. Dxi = 0.

Уравнение (1)сводится к уравнению во времени без учета диффузии.
В любой точке реактора процесс идет одинаковым образом подобно процессу в точечной модели временной динамики. Уравнение описывает систему с полным перемешиванием.

Коэффициенты диффузии в уравнении (1) большие, длина диффузии l_i большая (близки к размеру реактора L).В этом случает имеет место l_i = Ö D_it_I ≥ L. Данный случай похож наполное перемешивание.

Случай l_i < L. Система распределенная. Уравнение (1) описывает характерные для распределенных систем явления самоорганизации (пространственные неоднородности):
- образование фронтов,
- бегущие импульсы,
- диссипативные структуры.

Задача Дирихле.Аргументом в задаче Дирихле является пространственная переменная r.
Цель состоит в нахождении пространственного распределения концентраций вещества x_i (r).
Известно, что на границах реактора (r.=0, r.= L) концентрации x_i (r) или их производные ¶ x_i /¶ r зафиксированы и не зависят от времени.

Анализ устойчивости таких систем выходит за рамки задачи Дирихле. Неустойчивые в задаче Коши траектории в задаче Дирихле соответствуют вполне реальным распределениям.

Решение:

x(r,t) = x₀e^l^tSin(pnr)

y(r,t) = y₀e^l^tSin(pnr)

Эти решения соответствуют дифференциальным уравнениям

В этих уравнениях нет пространственных координат (r). По форме они подобны уравнениям точечным уравнениям динамики. Их устойчивость мтжно исследовать обычным образом.

l = Y(A, B, D_x, D_y, k²)

const

Если в интервале [k²_min ; k²_max]_xили [k²_min ; k²_max]_yпопадает одно из разрешенных граничнымиусловиями значений k²_x ; k²_y , то амплитуда соответствующей моды (синусоиды) начинает расти во времени (неустойчивость Тьюринга – бифуркация Тьюринга).

1. Такое явление имеет место только в распределенных (пространственно неоднородных системах) системах.

2. Пространственный период предопределен величиной k²_n, который зависит от A, B, L, но не от начальных условий.

3. Учет нелинейных членов уравнения вблизи точки бифуркации Тбюринга приводит к стабилизации структуры. Структура сохраняет плавную (гармоническую форму), имеет определенную амплитуду, которая зависит от A, B, L.

4. В системе есть только один аттрактор (одно устойчивое состояние равновесия), свойства которого предопределены выбором A, B, L, но не начальными условиями.

Выбор в системе диссипативной структуры за счет начальных условий или случайно невозможен.Структура одна.

5. Область применения диссипативных гармонических структур ограничена. При D_y >> D₁ образуются так называемые контрастные структуры которые называют диссипативными по характеру процесса. Способы их описания иные.

Диссипативные системы представляют собой весьма широкий и важный класс естественных систем. Ярче всего различие между консервативными и диссипативными системами проявляется при попытке макроскопического описания последних, когда для определения мгновенного состояния систем используются коллективные переменные (температура, концентрация, давление, конвективная скорость и др).
При рассмотрении уравнений, управляющих поведением этих переменных, выясняется их важная особенность: уравнения не инвариантны относительно операции обращения времени.