TI – характерный для xi отрезок времени в Fi(x1,…,xn).

B X - X2Y + Dy¶ 2X/¶ r2 = 0 Y = B/A

Устойчивый фокус – рождение цикла – неустойчивый фокус.

X¢ = A–(B+1)(A+x)+(A+x)2(B/A+y) = x(B-1)+y(A2)+x2(B/A)+2xyA+x2y.

y¢ = B(x+A)-(A+x)²(B/A+y) = -Bx - (B/A) x²-yA² – 2Axy – x²y/

Для исследования устойчивости используется линейное приближение динамики системы в малой окрестности положения равновесия.

x¢ = x(B-1)+y(A²)Характеристическое уравнение

y¢ = -Bx - yA² l² + (1+A²-B) l + A² = 0

Концентрации исходных веществ:

A = 1, B– управляющий параметр

Характеристическое уравнение при этих значениях: l² + (2-B) l + 1 = 0

B < 2 P₀ – устойчивый фокус

B > 2 P₀ – неустойчивый фокус

B = 2рождение цикла (бифуркация Хопфа)

При изменении параметра B (в направлении роста) меняется структура фазового пространства:

Помимо нелинейной реакции во времени данное уравнение демонстрирует еще и пространственную самоорганизацию.

Пусть rÎ[0,1] -продольная координата.
Вдоль этой координаты происходит диффузия химических веществ X и Y, D_x и D_y. - коэффициенты диффузии.

¶ X/¶ t = A – (B+1)X + X²Y + D_x¶ ²X/¶ r²

¶ Y/¶ t = BX - X²Y + D_y¶ ²X/¶ r²

y(r,t) = y₀ e^wt sin(npr)состояния, но и периодические по времени соб-

ственные функции.

Система имеет изменяющуюся по периодическому закону пространственную структуру.

Пространственные и временные структуры могут спонтанно возникать из-за неустойчивости основной термодинамической ветви.

Если зафиксировать начальные концентрации X(r, 0), Y(r, 0)и увеличивать B при A = const, то, начиная с некоторого критического значения B_кр , система выходит на немонотонные стационарные распределения концентраций.

Это неожиданный результат. Кажется очевидным, что распределения концентраций реагирующих веществ по горизонтали должны быть однородными (сила тяжести действует по вертикали). Однако это не так. В среде возникают структуры. Одни реагенты могут оказаться сосредоточенными в одних частях реактора, другие – в других. Как же тогда меняются скорости протекания реакций? Какая концентрация веществ будет оптимальной ?

Стационарные решения X = A, Y = B/Aудовлетворяют краевой задаче при всех B. При B > B_крпоявляются несколько стационарных решений. Происходит ветвление решений – бифуркация.

Мы фиксировали начальные концентрации и изменяли значения B. Теперь зафиксируем какое-нибудь закритическое значение B > B_кри будем менять профили начальных концентраций X(r, 0), Y(r, 0).
При одних начальных данных мы получим один стационар, при других – другой. При этом выход на один и тот же стационар возможен из целого класса начальных условий. Система как бы «забывает» о различии начальных данных. В линейной системе такое невозможно.

Если решение X = A, Y = B/A«поставлено точно», то оно меняться не будет. Однако даже малые отклонения при определенных условиях будут очень быстро нарастать и выведут систему на один из неоднородных устойчивых стационаров. Такие малые отклонения (флуктуации) определяют всю дальнейшую судьбу нелинейной системы.

Возможно, что именно в необходимости учитывать флуктуации, которые, нарастая, могут изменить основные характеристики процессов, кроется одно из основных отличий сложных систем от простых. Даже слабое воздействие на нелинейную систему в зоне B_кр может изменить ее дальнейшую судьбу. Этот факт есть проявление резонансного возбуждения, вследствие которого воздействие, согласованное с внутренними свойствами нелинейной системы, очень сильно влияет на нее.Вдали от B_крвлияние такого воздействия не ощущается.

Мы умеем предсказывать величину B_кр , начиная с которой будут возникать структуры. Ответим на вопрос, почему при B < B_кр структуры не возникают.

Отклонения от термодинамической ветви в области B < B_крнастолько малы, что нелинейные члены уравнения гораздо меньше линейных. Решения полного уравнения близки к решению уравнения линейного приближения. Для линейного приближения справедлив принцип суперпозиции. Общее решение можно «сшить» из частных. Если для всех l_i имеет место Rel_i < 0, то каждое частное решение убывает и отклонение от термодинамической ветви также убывает.
Идея А.М. Ляпунова об устойчивости систем, описываемых ОДУ[3], работает при линейных приближениях в области точек равновесия.
В линейной задаче как бы «заложено» значение параметра B_кр , начиная с которого будут появляться структуры. Линеаризация недопустима при очень интенсивных воздействиях на систему, а также тогда, когда система открыта и далека от положения равновесия. Именно эти случаи наиболее интересны современной науке. Их понимание основано на нелинейном анализе, дающем более полную и глубокую картину изучаемых объектов и процессов.

Нелинейность стабилизируетпроцессы, о росте которых говорит линейная задача. При B > B_крвозможно возникновение нескольких типов структур. Предсказание спектра решений, характера изменчивости, зависимости изменчивости от параметра Bвозможно только в результате нелинейного анализа системы.

Рассмотрим более подробно пространственную самоорганизию на примере брюсселятора.

¶ x_i /¶ t = 1/t F_i(x₁,…,x_n)+D_iDx_i, i = 1,…,n (1)

D_i – коэффициент диффузии i-го компонента массы вещества.

D = ¶² /¶ r² + ¶² /¶ u² + ¶² /¶ v² – оператор Лапласа.

x_i - концентрация вещества.

F_i(x₁,…,x_n) – описание химической реакции в заданной точке пространства реактора (точку определяет только значение r, поскольку пространство внутри реактора имеет в нашем случае одно измерение, координаты точки u и v равны нулю).

Реакция происходит в ограниченном пространстве реактора L. Граничные условия, которые в данном случае дополняют начальные условия, заданы: x₁ = x(r, 0), x₂ = y(r, 0).