Fiмогут сколь угодно сложным образом зависеть от переменных x и их пространственных производных и явным образом - от пространственных координат r и времени t.
1) Если в этом уравнении совершить операцию обращения времени t* = - t, то по меньшей мере одна из функций Fi, соответствующая четной переменной xi, должна будет содержать инвариантную часть, в то время как функция Fi,, соответствующая нечетной переменной xi, должна будет содержать часть, меняющую знак при обращении времени.
Концентрация и температура - примеры четных переменных. Импульс частиц, конвективная скорость жидкости - нечетные переменные
2) Второе существенное различие между консервативными и диссипативными системами связано со вторым законом термодинамики и его многочисленными следствиями.
Фазовое пространство диссипативных систем включает ансамбль имеющихся переменных. В случае непрерывной среды - это бесконечномерное пространство, в котором различные характеристики системы являются пространственно распределенными величинами. Удобнее всего работать с фазовым пространством, когда оно содержит дискретное число переменных и когда это число конечно и невелико.
3) Особо стоит вопрос о связи между консервативными и диссипативными системами, а также вопрос о возможности перехода от одного описания к другому
Микроскопические взаимодействия.В любой физической системе имеют место межмолекулярные взаимодействия. Они, главным образом, обусловлены силами электромагнитной природы. Эти короткодействующие силы,они исчезают, как только расстояния между взаимодействующими частицами превысят несколько межмолекулярных расстояний (несколько A° ).
В очень нагретых системах или же системах с низкой плотностью межмолекулярные силы заметным образом не проявляются. При этом наблюдается явное доминирование кинетической энергии, что приводит к неупорядоченному поведению вещества. При понижении температуры вещества (повышении давления) кинетическая и потенциальная энергии стремятся поменяться ролями. В конце концов начнут доминировать межмолекулярные взаимодействия. Система при этом будет иметь такую конфигурацию, в которой соответствующая потенциальная энергия получит минимальное возможное значение.
Это очень напоминает движение тела, перемещающегося по некоторой поверхности под действием силы тяжести в самую глубокую впадину и затем колеблющегося около этого положения механического равновесия.
Пространственные структуры возникают в результате фазовых переходов. Структура системы характеризуется определенной микроскопической длиной (порядка нескольких А°), сравнимой с радиусом этих взаимодействий. Обусловленная фазовыми переходами упорядоченность приводит к структурам типа “окаменелостей”.
Макроскопические переходы.Пространственные масштабы после становятсямакроскопическими, сравнимыми с масштабами самой системы. В системе кроме пространственных структурмогут возникать и длительно существовать разнообразные явления, зависящие от времени и также проявляющиеся в макроскопических масштабах.
Организующим фактором при макропереходах являются уже не фазовые переходы и равновесия, а, напротив, неравновесность системы, переход которой к равновесию уже не может происходить только за счет межмолекулярных взаимодействий. В условиях неравновесности система приобретает макроструктуру. В ней выделяются части, содержащие громадное число молекул, возникают новые явления, обусловленные состоянием вещества и характеризуемые крупномасштабными корреляциями. Возникающее при макроскопическом переходе сложное поведение можно рассматривать как фазовый переход нового типа (неравновесный фазовый переход), в результате которого в системе создаются и усиливаются особые неравновесные условия. Эти условия проявляются в нарушениях симметрии. Системы в неравновесном состоянии способны осуществлять бифуркационные переходы к новым состояниям, и эта их способность делает неравновесное состояние непохожим на любое состояние равновесия.
Если система находится в равновесии, то она будет пребывать в нем сколь угодно долго, а характеристики системы при этом будут сохранять свои значения неизменными во времени.
Механическое равновесие.В механике равновесие представляет собой особое состояние, в котором скорости и ускорения всех материальных точек равны нулю, и в силу этогорезультирующая сила, действующая на каждую точку равна нулю в любой момент времени.
Термодинамическое равновесие.При термодинамическом равновесии входящие в систему молекулы подвержены действию несбалансированных сил и движутся под действием этих сил (если только температура не становится чрезвычайно низкой) в любых возможных направлениях.
Понятие термодинамического равновесия относится к коллективным характеристикам системы в целом (температура, давление. концентрация). На рисунке схематически представлено взаимодействие системы и окружающей среды. Наборы переменных xiи xie(химический состав, температура, давление, ..) характеризуют обменные процессы между системой в целом и средой.
При термодинамическом равновесии характеристики среды и системы имеют одинаковые значения в любой момент времени в любой точке системы. В равновесии различные части системы между собой термодинамически неразличимы.
При наличии внешних сил могут возникать дополнительные переменные, характеризующие термодинамическое равновесие (электрическое поле, механическое напряжение и др.).
При термодинамическом равновесии ¶ xi /¶ t = 0.
Однако, это равновесие специального типа, так как равновесие определяется только применительно к взаимодействию системы и среды и только относительно переменных из конкретного набора.
Так, для рассматриваемого примера равновесие обусловлено равенством химических составов, температур, и давлений. Это означает, что никаких систематических обменов тепловой (T- температура), механической энергией (P - давление) или веществом (С - концентрация) между системой и средой не происходит. При равновесии в этих каналах обменных процессов системе больше нечем обмениваться с внешней средой.
Это условие формулируется в виде равенства нулю полных потоков (Jei = 0)в системе. Однако, это равенство не является абсолютным, застывшим. Оно означает, что если, например, в какой-то малой части системы возникнет некоторое незначительное нарушение равенстваT = Te,тообязательно найдется обратный процесс, способный обеспечить противоположный вклад в тепловой поток Jiтакой, при котором вновь восстановится равенство Ji = 0.
Подобное равновесие в деталях есть проявление обратимости во времени элементарных процессов в системе, описываемой консервативными уравнениями. Именно оно ответственно за большинство фундаментальных свойств равновесия, как например, свойств единственности и устойчивости.
Неравновесные ограничения.В неравновесных состояниях в системе имеются неисчезающие потоки, ориентированные от системы в среду и из среды в систему, и различия в значениях некоторых переменных xiи xei.
Эти различия могут иметь переходный характер- они могут мгновенно возникать благодаря некоторому начальному условию и постепенно релаксировать по мере установления равновесия между системой и внешней средой.
Эти различия могут быть постоянными, если создать и поддерживать соответствующие условия (ограничения). Вследствие постоянного или временного действия ограничений в неравновесном состоянии детального равновесия уже нет.
Режим неравновесного состояния характеризуется способностью к изменениям - небольшие локальные отклонения от него не обязательно компенсируются постоянно возникающим противодействием (типичным для режима детального равновесия).
Эти малые отклонения могут быть усвоены или даже усилены системой, становясь тем самым причиной и источником новообразований и разнообразия.
[1] Мандельштам Л.И Лекции по теории колебаний.
[2]. Андронов А.А., [Витт А.А.], Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1987.
[3] ОДУ – обыкновенные дифференциальные уравнения (уравнения с одной переменной).
