Уравнение автокаталитической реакции

Вдали от особых точек все динамические системы локально эквивалентны простейшему дифференциальному уравнению x¢ = с, y¢ = 0.

Устойчивость особых точек уравнения x¢ =F(x) определяется линейным членом, когда соответствующая производная не равна нулю. Это дает надежду на возможность приведения к каноническому виду и создания классификации. К одному классу можно отнести все динамические системы, которые локально можно привести к одному и тому же каноническому виду.

Всегда интересно анализировать не одно уравнение, а целое семейство динамических систем x¢ = F(x, l)и привести это семейство к каноническому виду в некоторой окрестности фазового пространства и пространства параметров l.
При этом очень важной оказывается идея типичности, грубости, структурной устойчивости(А.А. Андронов, Л.С. Понтрягин).

Смысл этой идеи очень прост. При математическом моделировании различных объектов и процессов мы знаем параметры уравнений с конечной точностью, а сами уравнения являются приближенными.
Естественно потребовать, чтобы математические модели описывались уравнениями, качественные свойства которых не меняются при небольших возмущениях («шевелении») параметров. Реализация идей локального анализа привела к возникновению и развитию таких разделов математики как теория нормальных форм, теория бифуркаций, теория катастроф, играющих важную роль в моделировании нелинейных явлений.

Во многих случаях важно представлять решение не только локально, в малой окрестности точек фазового пространства, но и глобально. Например, важно знать, сколько и каких аттракторов имеет изучаемая система, как может измениться число и тип аттракторов при изменении параметров.

В физике известны законы сохранения непрерывных величин, таких как энергия, импульс, момент импульса.
Наряду с этим известны законы сохранения другого типа.
Могут сохраняться дискретные величины, например, барионный или электрический заряды.
Если в системе рождается барион с зарядом +1, то должен родиться и антибарион с зарядом -1, электрон может рождаться только в паре с позитроном.
Аналогичная этому ситуация имеет место и в уравнении x¢ = F(x). Исследование этой ситуации помогает объяснить идею глобального анализа нелинейных динамических систем.
Можно говорить, что состояние равновесия (F(x_i)=0) обладает топологическим зарядом q, равным -1, если dv(x_i)/dx < 0; +1, если dv(x_i)/dx > 0 и
0, если dv(x_i)/dx = 0.
Сумму топологических зарядов всех положений равновесия системы можно принять за топологический заряд системы. Для всех динамических систем с непрерывной функцией F(x)выполняется утверждение топологический заряд равен нулю.

Более глубокие и содержательные рассуждения, опирающиеся на понятие непрерывности, на возможность анализировать свойства геометрических объектов, сохраняющиеся при непрерывных преобразованиях, легли в основу топологии. А. Пуанкаре считал топологию (геометрию положения) сложным абстрактным разделом анализа. Топологические методы позволили получить важные общие результаты для больших классов нелинейных математических моделей, а также предсказать ряд новых физических явлений.

Рассмотрим уравнение брюсселятора (научная школа нобелевского лауреата И.Р. Пригожина в Брюсселе).

Согласно закону действия масс химическое взаимодействие веществ Xи Y, сопровождающееся возникновением третьего вещества Z, условно записывается как X+ Y ® Z.
Скорость изменения концентрации вещества Zпропорциональна произведению концентраций веществ Xи Y: Z = k XY, где k - коэффициент пропорциональности. Этот коэффициент можно принять постоянным, зависящим от размеров молекул, их скорости и др. факторов. Если n молекул вещества Xвзаимодействуют с одной молекулой вещества Y, то изменение концентрации Zпропорционально Xⁿ´Y.

A - k1 k1 X	Концентрации веществ Aи B поддерживаются постоянными. Вещества Dи E каким-то способом удаляются, так что концентрации D и E можно считать постоянными. Все внимание можно сосредоточить на тримолекулярной стадии реакции.
B + X -k2 k2 Y + D
2X + Y –k3 k3 3X
X – k4 k4 E

Скоростями обратных реакций –k₁, –k₂, –k₃, –k₄, можно пренебречь по сравнению со скоростями прямых реакций k₁, k₂, k₃, k₄.

A X B + X Y + D 2X + Y 3X X E

Исходные продукты Aи B