Решение задачи

Пусть – производственная функция для валового продукта x(t) экономики. Перейдём к новым, «подушным», переменным: , , это средние фондовооружённость и производительность труда соответственно. Так как , то – удельная производственная функция явно от не зависит.

Полагаем, что скорость прироста рабочей силы (заметьте, именно рабочей силы, а не необходимых для экономики трудозатрат) пропорциональна её текущему объёму: , n=const, 0<n<1.

Так как , то . Подставляя выражения , в систему уравнений (5), перепишем задачу:

(6)

Пусть – решение задачи. Найдём полную скорость роста во времени: . Математическими средствами найдено, что максимум функционала достигается тогда, когда при решении задачи (6) можно найти такие функции , чтобы в каждый момент времени t достигала максимум функция формальных аргументов :

. (7)

Смысл этого требования прост: в каждый данный момент t сумма скорости роста производительности труда и скорости роста подушного потребления должна быть максимальной.

Дадим оценку зависимости между приростом фондовооружённости и приростом производительности труда: положим, что в каждый момент времени t отношение второго прироста к первому равно дисконтирующему множителю в сумме среднедушевого потребления за Т лет:

.

Отсюда получаем представление: . В момент времени t=0 имеем: . Но, согласно подушной производственной функции, . Следовательно, , и функция имеет структуру , в которой зависимость множителя подушной производственной функции от времени представлена в виде множителя . Итак, , . Подставляя эти выражения в слагаемые функции (7), получаем её новый вид:

,

в которой устранена явная зависимость от u. Далее, формальные переменные и связаны структурой производственной функции: . Уточняя вид функции р, получаем:

Из необходимого условия экстремума ,

, находим:

.

Введём оценку мощности экономики . Предположим, что она возрастает со временем по экспоненциальному закону: , p – индекс мощности. Тогда простейшая зависимость от времени имеет вид:

. (8)

Функция (8) (и её график), при которой достигается max∑, называется магистралью экономики. Ввиду того, что p>0, , магистраль – возрастающая функция времени.

Замечания. Требование максимума для функции является переформулировкой вариационной задачи для функционала ∑. При кажущейся сложности выкладок решение (8) в виде магистрали экономики весьма примитивно. Оно основывается на целом ряде упрощающих (иногда – сомнительных; например, по i): –это и численность работников, и численность населения) предположениях:

i), ii) , iii) .

Однако в этом и состоит смысл моделирования – при допустимых и правдоподобных упрощениях находить основные характеристики и тенденции развития экономических систем.