Постановка задачи

Модель управления экономикой через основные производственные фонды

В этой модели объединяются уже рассмотренные ранее элементы теоретических представлений. Рассматриваются сводные скалярные величины, характеризующие экономику страны как замкнутую систему.

Введём следующие обозначения величин в стоимостном выражении:

Х – валовой продукт, у – конечный продукт, с – потребление конечного продукта, I – инвестиции в экономику, k – объём основных производственных фондов, l – объём используемых трудовых ресурсов; все величины предполагаются функциями времени t. Указанные величины связаны соотношениями (балансами):

x(t) = ах(t) + у(t), a=const, 0 < а <1; (1)

y(t) = c(t) + I(t), (2)

I(t) = . (3)

Баланс (1) является однопродуктовой моделью Леонтьева, баланс (2) взят из моделей макроэкономического равновесия (описание производителей). Баланс (3) – элемент новизны данной модели. Если измерять время в годах, то - приращение основных фондов за год. Таким образом, инвестиции данного года расходуются на возмещение износа существующих основных фондов с коэффициентом амортизации и приобретение новых фондов.

Как и ранее, предполагается, что потребление с является долей u конечного продукта у, но долей, переменной во времени:

.

Так как у=(1–а)х, с=uу, то с=(1–а)хu . Подставив это выражение, а также балансы (2), (3) в уравнение (1), получаем дифференциальное уравнение :

. (4)

В уравнение (4) входит искомая функция k(t); неизвестные функции u(t), x(t) надо определить так, чтобы при найденной k(t) выполнялось некоторое оптимальное для экономики условие. Сформулируем это условие в виде требования максимума среднедушевого потребления за длительный период Т.

Пусть - начала первого, второго,…, n-го года соответственно; .

Обозначив , ,…, , получаем оценки потребления конечного продукта одним работником по годам:

, , .

Если мы хотим просуммировать среднедушевые потребления по годам, то слагаемые суммы следует привести к данному первому году, используя дисконтирующий множитель , – коэффициент дисконтирования:

Предел этой суммы при – определённый интеграл

– объём среднедушевого потребления за Т лет.

Так как , то с точки зрения математики получаем смешанную задачу для системы дифференциального уравнения и функционала, предполагаемым решением которой являются функции k(t), x(t), u(t):

(5)