Построение модели доходов и издержек

Заменяя конечные приращения в (2) бесконечно малыми и переходя к математической записи, получаем задачу для дифференциального уравнения:

(4)

Значения х₊, р₊ в начальном условии задачи (4) – данные по ситуации на рынке в прошлый (базисный) период. После процедуры интегрирования:

,

находим:

(5)

Кривая р(х) показана на рисунке 2. Необходимо предостеречь, что р(х) – это не кривая спроса на рынке рассматриваемого продукта-товара, а реакция рынка на объёмы товара, поставляемого данным предприятием.

Из выражения (5) следует, что при х<х₊ имеем р(х)>p₊, если же х>х₊, то р(х)<p₊. Выбор направления изменения объёма х (рост или снижение реализуемого выпуска) зависит от реакции дохода на это изменение.

Найдём доход:

, (6)

где - доход базисного периода

Так как R(x) должна быть возрастающей функцией аргумента х, то должно выполняться условие: R'(x)>0.

У нас , откуда следует ограничение на значения коэффициента α: α<1. Итак, 0<α<1. Согласно определению, эластичность дохода по объёму реализуемого выпуска равна:

.

Таким образом, эластичности цены и дохода по объёму выпуска-реализации связаны между собой: сумма их абсолютных величин равна единице.

Если провести рассуждения, аналогичные таковым при выявлении структуры функции рыночной цены, то можно получить зависимость себестоимости q от объёма х выпуска:

, 0<γ<1.

Переменные издержки V(x) находятся аналогично R(x):

.

1.3. Определение оптимального объёма выпуска продукции

Найдём оптимальный по максимуму прибыли объём х^* выпускаемой продукции:

.

(7)

При не очень высоких издержках F и при α>γ (снижение цены интенсивнее снижения себестоимости) достигается max П(х) именно при х=х^*; значения х, меньшие или большие х^*, доставляют меньшую прибыль. Именно такую ситуацию иллюстрирует рисунок 1. Если α<γ, то прибыль неограниченно возрастает при х>х₀, значение х^* показывает объём выпуска продукции, приносящий наибольшие убытки. Ситуация α<γ описывает крупную корпорацию, способную вложить большие средства в развитие производства достаточно востребованного продукта (рисунок 3).

Для малого предприятия выпуск в переменном (и небольшом) объёме х не влияет на цену р. Предприятие планирует продукт-товар по цене р, использует ограниченные по возможностям ресурсы и технологию, что означает: q=const. Следовательно, R(x)=px, T(x)=F+q∙x, графики R(x) и T(x) – прямые. Если наклон T(x) меньше наклона R(x):

tqα_T=T^'(x)=q<p=R'(x)=tqα_R,

то прибыль положительна и возрастает при х>х₀ (рисунок 4).