«Математическое моделирование экономических систем». - Новокузнецк: СФ МИЭП, 2006. – 50 с. (Методические указания по изучению курса)
Методические указания подготовлены на кафедре информатики и математики СФ МИЭП в соответствии с программой курса “Математическое моделирование экономических систем” и предназначено для студентов, обучающихся по экономическим специальностям очной, очно – заочной и заочной форм обучения, а также может быть полезно преподавателям высших и средних специальных учебных заведений при подготовке и проведении практических занятий.
Печатается по решению Научно - методического совета СФ МИЭП от 8 апреля 2005г. протокол № 3.
Утверждено на заседании кафедры информатики и математики СФ МИЭП 18 марта 2005 г., протокол № 84; утверждено переиздание в 2011 г.
1. Оптимизация выпуска продукции предприятия при постоянстве эластичностей рыночной цены и себестоимости по объёму выпуска. 5
1.1. Постановка задачи. 5
1.2. Построение модели доходов и издержек. 6
1.3. Определение оптимального объёма выпуска продукции. 8
2. Модель Эджворта замкнутой системы двух предприятий. 9
2.1. Постановка задачи. 9
2.2. Некоторые линии в прямоугольнике Эджворта. 10
2.3. Некоторые задачи для модели Эджворта. 11
3. Задачи, продолжающие тему линейного программирования. 14
3.1. Задача об оптимальных назначениях. 14
3.2. Модель грузоперевозок региональной транспортной компании. 17
4. Элементы динамического программирования. 22
4.1. Постановка задачи. 22
4.2. Принцип и уравнение Беллмана. 24
4.3. Решение примера. 24
5. Классическая модель макроэкономического равновесия. 26
5.1. Основные предпосылки. 26
5.2. Равновесие на рынках. 27
5.3. Модель в целом. 30
6. Модель Дж. Кейнса макроэкономического равновесия. 31
6.1. Основные предпосылки. 31
6.2. Описание рынков. 31
6.3. Модель Кейнса в целом и разрешение задачи для неё. 32
7. Аксессуары модели Кейнса. 34
7.1. Эффективный спрос и равновесная цена на долгосрочный период. 34
7.2. Мультипликатор доходов. 37
7.3. Акселератор доходов. 39
8. Модель управления экономикой через основные производственные фонды. 41
8.1. Постановка задачи. 41
8.2. Решение задачи. 42
8.3. Доля потребления конечного продукта; пример. 44
9. Римский клуб и его доклады. 45
9.1. Обзор основных докладов Римскому клубу. 46
9.2. Аурелио Печчеи: элементы биографии. 48
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ... 50
ВВЕДЕНИЕ
Данная методическая разработка будет полезной студентам, освоившим курс «Математические методы экономических исследований». Ее содержание соответствует программе дисциплины «Математическое моделирование экономических систем», принятой в Сибирском филиале Международного института экономики и права (СФ МИЭП г. Новокузнецк). В курсе «Математические методы экономических исследований» основное внимание обращается на типы и свойства тех математических структур и задач для них, которые можно привлечь к анализу экономических ситуаций. В «Математическом моделировании …» ставится другая цель. Любая экономическая ситуация должна рассматриваться с её предысторией и последствиями, то есть как экономический процесс. Здесь необходимо произвести декомпозицию содержательного процесса на его элементы, выделить простейшие сущностные свойства элементов и подобрать для них подходящее математическое описание. Так создаются блоки будущей математической модели. Затем наступает очередь «сборки» – синтеза модельных блоков в единую систему, модель процесса, адекватную содержательным представлениям о процессе. И, наконец, анализ модели, позволяющий заключать о возможности достижения желаемой ситуации и давать прогнозы. В силу сказанного главная задача курса «Математическое моделирование экономических систем» - на классе примеров привить некоторые навыки перевода содержательных экономических размышлений в технологию конструирования математических моделей. Поэтому в данной методической разработке не рассматриваются вопросы методологии (общее понятие модели, классификация моделей и т. п.).
Материал методической разработки включает микроэкономические постановки по темам выпуска продукции, дохода, издержек, прибыли (модель Эджворта, модель прибыли крупного предприятия); некоторые постановки, продолжающие тему линейного программирования (задача об оптимальных назначениях, транспортная задача, динамическое программирование); макроэкономические модели экономики (неоклассическая, модель Кейнса, модель с управлением по магистрали экономики). Авторы посчитали уместным показать важность прогностического моделирования на примере проектов Римского клуба. Избраны те методы решения задач для моделей, которые наиболее понятны с позиций экономического мышления или доступны по компьютерным возможностям.
Предлагаемый материал отражает опыт авторов преподавания дисциплины «Математическое моделирование экономических систем» в СФ МИЭП в 1995 – 2011 г.г. Семестровый лекционный курс поддерживался практическими занятиями и контролируемой самостоятельной работой студентов (по индивидуальным заданиям).
1. Оптимизация выпуска продукции предприятия при постоянстве эластичностей рыночной цены и себестоимости по объёму выпуска
Рассмотрим отдельное предприятие, за определённый период времени производящее и реализующее один продукт-товар в количестве х. Предприятие продаёт продукцию по цене р, получает доход R(x)=px. На производство товара в количестве х предприятие затратило средства–издержки производства:
T(x)=F+V(x)=F+qx
Здесь F – постоянные затраты, не зависящие от объёма производства (расходы на управление, проведение исследовательских работ, маркетинг); q–внутренняя цена продукта (себестоимость производства единицы продукции); V(x) – затраты, напрямую зависящие от х (расходы на сырьё, полуфабрикаты, энергию, оплату труда производственного персонала); говорят, что V(x)–переменные издержки. По смыслу и определению R(x), V(x), T(x) – возрастающие функции х, причём R(0)=V(0)=0. Движущее начало производственной деятельности – получение прибыли
П(х)=R(x)-V(x)>0
Предприятие стремится к максимальному значению П(х). Достичь этого можно при выполнении двух условий:
· превзойти объём выпуска х0, обеспечивающего положительность П(х);
· найти объём выпуска х*, при котором max П(х)=П(х*) (рисунок 1).
C точки зрения математики поиск max П – решение задачи об экстремуме функции П(х); из равенства нулю производной П'(x) находится точка х* подозрительная на экстремум:
.
Прибыль максимальна, если предельный доход равен предельным издержкам.
Значение оптимального объёма выпуска х* и величина П(х*) зависят от кривизн линий R(x), T(x).
Кривизны определяются зависимостями цены р и себестоимости q от объёма х выпускаемой и реализуемой продукции.
Положим, что наше предприятие – достаточно крупное по объёму поставляемой на рынок продукции, изменения объёмов влияют на рыночную цену продукции. Именно, рост объёма приводит к снижению цены. Принимаем постулат: для любого количества х определённый, постоянный процент приращения Δх вызывает один и тот же процент уменьшения цены (Конечно, этот постулат приложим только для некоторого интервала достаточно больших значений х):
(1)
Если переписать постулат (1) в виде:
, (2)
то его можно сформулировать как предположение о постоянстве эластичности рыночной цены по объёму продукции.
При установлении зависимости q(х) будем исходить из кривой опыта (так называется закономерность, подмеченная исследователями в развитии авиапромышленности США в 20-ых годах ХХ века): увеличение объёма выпуска в два раза приводит к 20%-му снижению себестоимости продукции. Это означает, что эластичность себестоимости по объёму выпуска постоянна и равна – 0,20:
увеличение выпуска на 1% ведёт к снижению себестоимости на 0,20%.
Поэтому примем, что прирост выпуска на 1% с любого значения х объёма выпуска приводит к снижению себестоимости на одну и ту же величину γ%:
C точки зрения математики поиск max П – решение задачи об экстремуме функции П(х); из равенства нулю производной П'(x) находится точка х* подозрительная на экстремум:
.
Δх вызывает один и тот же процент уменьшения цены (Конечно, этот постулат приложим только для некоторого интервала достаточно больших значений х):
(1)
, (2)
γ>0 (3)