Квантовый перенос в наноструктурах

Рассмотрим процессы квантового переноса, происходящие при протекании через наноструктуры тока от присоединенных к ним внешних источников.

В электронике или, точнее, в микроэлектронике такие системы известны как приборы с размерами в субмикронном или нанометровом диапазоне. Очень интересным явлением, проявляющимся при мезоскопическом переносе, является квантование проводимости в единицах .

Для наблюдения квантовых эффектов в полупроводниковых наноструктурах должен быть удовлетворен ряд условий. Из наиболее общих требований стоит отметить, прежде всего, то что при заданной температуре квантовый перенос сильнее проявляется в тех наноструктурах, эффективная масса электрона в которых меньше, поскольку это обычно подразумевает и более высокую подвижность. В целом можно утверждать, что, чем меньше эффективная масса, тем при более высокой температуре может наблюдаться квантовый перенос.

Квантовая проводимость. Формула Ландауэра

Предположим, что, как показано на рис. 6.11, такая квантовая проволока идеальными контактами (т.е. такими, в которых полностью отсутствуют процессы рассеяния) соединена с двумя резервуарами, характеризубщимися уровнями Ферми E_F₁ и E_F₂, между которыми приложено слабое напряжение V для обеспечения протекания тока через проволоку. В результате между резервуарами возникает разность потенциалов eV, равная (E_F₁–E_F₂). Величина протекающего при этом по проволоке тока I равна произведению концентрации электронов (которую можно определить по функции плотности состояний в интервале энергий eV) на скорость электронов v(E) и единичный заряд:

, (6.10)

Рис. 6.11 Схематическое представление одномерной мезоскопической системы, используемое для выаода формулы Ландауэра.

Подставляя в это выражение формулу для плотности состояний (из формулы выбрасывается коэффициент 2, поскольку в рассматриваемой системе электроны могут двигаться только в одном направлении) можно легко получить выражение для тока

, (6.11)

которое, оказывается не зависящим от скорости носителей. Проводимость G = (I/V) при этом равна

Стоит также отметить, что (в отличие от классической проводимости, обратно пропорциональной длине проводника) проводимость квантовой проволоки вообще Ника не зависит от ее длины. Отношение

(6.13)

Называется квантовой единицей проводимости, а соответствующее обратное отношение

Называется квантовым сопротивлением и может быть измерено экспериментально. Поскольку отношение используется в теории очень часто, его иногда называют фундаментальной проводимостью.

Для квантовых проволок подзоны возникают из поперечных состояний. Предполагая наличие нескольких каналов, можно представить, что электроны могут инжектироваться из контактов в любой канал (или моду) m, поступать в мезоскопическую структуру, а затем, после взаимодействия с рассеивающим цетном, возникать в другом канале – n. Такие электроны будут вносить свой вклад в полную или общую проводимость системы, равный произведению кванта проводимости на квантовомеханическую вероятность перехода , соответствующую инжекции электронов в канал m и их переходу в другой канна n (отметим, что в такой формулировке вероятность перехода выражается через амплитуды или вероятности пропускания волновых функций электрона). Полная проводимость в этом случае может быть получено суммированием процессов по всем каналам, т.е.

, (6.15)

где N – полное число каналов, участвующих в рассматриваемых процессах проводимости. Уравнение (6.15) называемое формулой Ландауэра, может рассматриваться как обобщение уравнения (6.12) для мезоскопической системы с двумя контактами и большим числом каналов.

При изучении процессов квантового переноса часто использубтся наноструктуры, состоящие из сужений внутри двумерной системы. В качестве примера можно привести показанную на рис.6.12 структуру, в которой движение электронов в двумерной гетероструктуре управляется расщепленным затвором.

Рис. 6.12 Зависимость квантовой прводимости от напряжения на управляющем электроде (форма которого приведена на врезке) при 0,6 К для квантовых точечных контактов, создаваемых в гетеростуктуре AlGaAs/GaAs.

Такие структуры называют квантовым точечным контактом (QPC) или даже электронным волноводом, по аналогии с привычными волноводами в радиофизики.

Экспериментальное наблюдение горизонтальных участков вольт-амперной характеристики представляет собой часто сложную задачу, так как эта ломаная линия «сглаживается» в результате многих побочных процессов: влияния неупругого рассеяния, конечного сопротивления контактов, наличия примесных атомов, шероховатости поверхности и т.д.

Формула Ландауэра–Бюттикера для квантового переноса в могозондовых структурах

Рассмотрим, наноструктуру типа представленной на рис. 6.13 , с двумя токовыми контактами, соответствующие соответствующими резервуарами и несколькими потенциальными контактами.

Рис.6.13 Диаграмма типичной наноструктуры, используемой в экспериментальных измерениях, связанных с квантовым эффектом Холла.

Резервуары в данном случае выступают в качестве бесконечных источников и стоков для электронов, причем из температура остается постоянной, даже когда они поставляют электроны в наноструктуру или поглощают их. Можно, как выше, вычислить зависимость тока в каждом подводящем проводе i, соединенном с резервуаром m_i, предполагая, что каждому из контактов соответствует лишь один канал. Аналогично мы можем построить матрицу рассеяния или прохождения из коэффициентов пропускания Т₀, относящихся ко всем комбинациями индексов i и j. Поскольку электроны, попадающие в структуру из другого контакта, могут отражаться, мы должны ввести соответствующие коэффициенты отражения R_i. Кроме этого, для нахождения величины тока I_i (в контакте i) мы должны учитывать следующие факторы: 1) величина тока, инжектированного через контакт i из резервуара m_i, равную произведению ; 2) частичное отражение тока обратно в контакт, описываемое коэффициента отражения R_i; 3) все токи, поступающий в данный контакт i от других контактов. Сумма таких вкладов, с учетом знака, позволяет записать для тока I_i (в контакте i) выражение

, (6.16)

Где через обозначено напряжение, соответствующее m_I, т.е. . При этом следует отметить, что использованное выше обозначение V_i определяется относительно общего напряжения , где соответствует нижнему уровню распределения Ферми в резервуарах, ниже которого все энергетические состояния заполнены и поэтому не могут никак участвовать в процессах переноса носителей заряда. Очевидно, что при близких к Т=0К температурах величина должна совпадать с минимальным из значений уровней Ферми для всех .

Приведенное уравнение получено для контактов с одним каналом. Многозондовое обобщение предполагает, что в каждом контакте I существует Ni каналов распространения, вследствие чего мы должны ввести обобщенные коэффициенты пропускания , соответствующие вероятности носителя в контакте j и канале b перейти в контакт i. Канала a. Аналогично должны быть введены и обобщенные коэффициенты отражения , соответствующие вероятности отражения носителя из канала b в канал a для одного и того же контакта i. Учитывая полные вклады в ток через контакт i, можно получить выражение

, (6.17)

где – напряжение на резервуаре i, а T_ij и Ri – приведенные коэффициенты пропускания и отражения, определяемые уравнениями

и . (6.18)

Уравнение (6.17) называется формулой Ландауэра–Бюттикера квантового переноса в многозондовых системах для контактов с большим числом каналов. Стоит подчеркнуть, что в этом уравнении вновь, как и выше в выражениях для квантовой проводимости, появляется характерный множитель фундаментальной проводимости . Полученное уравнение может быть упрощено с учетом условия сохранения тока в мезоскопической структуре. Полный ток, протекающий через структуру от контакта I, равный разности значений и (отраженная часть), должен совпадать с суммой всех компонент тока, возникающих от Ii и вытекающих из структуры по другим контактам, т.е. с величиной .

Исходя из этого, можно выписать соотношение

, (6.19)

с помощью которого можно переписать уравнение (6.17) в виде

, (6.20)

Представляющим собой просто иную запись формулы Ландауэра–Бюттикера.

Кулоновская блокада

Представим полупроводник, имеющий наноразмеры во всех трех измерениях, типа квантовой точки. В таких сверхмалых системах или точках наличие или отсутствие даже единичного заряда может приводить к заметным измеряемым измерениям в характеристиках электрического переноса. Простейшее объяснение такого эффекта (называемого кулоновской блокадой) заключается в следующим.

Представим квантовую структуру (точку), связанную с двумя резервуарами электронов через потенциальные барьеры или туннельные переходы (рис. 6.14 а). Барьеры должны быть достаточно тонкими, чтобы электроны могли поступать в резервуары (или покидать их) с помощью туннелирования. На рис. 6.14, б показана энергетическая диаграмма такой квантовой точки, число электронов N в которой меняется поштучно. Естественно, в такой системе может быть создана разность потенциалов за счет подключения внешнего источника напряжения.

Рис. 6.14 Схематическое изображение квантовой ямы для обнаружения эффектов кулоновской блокады; (б) энергетические уровни при приложенном внешнем напряжении. Указаны уровни для N электронов в квантовой точке.

Предположим, что мы собираемся увеличить число электронов N в точке на единицу, например, за счет туннелирования в точку одного электрона из левого резервуара. Для этого нам необходимо передать электрону потенциальную энергию eV от внешнего источника. Обозначим исходный заряд квантовой точки через Q, а ее емкость через С. Потенциальная энергия при этом составляет , и, следовательно, электрону для попадания в точку необходимо придать потенциальную энергию, по меньшей мере равную . Необходимое для этого напряжение составляет . Так как электрон может либо входить в точку, либо покидать ее (эти процессы эквивалентны, выход электрона означает поступление в точку дырки), туннелирование невозможно, если

. (6.21)

Полученное неравенство означает, что на вольт-амперной характеристике структуры существует диапазон напряжений (до ), в котором ток через точку не может протекать ни при каких условиях, как показано на рис. 6.15. Именно поэтому описываемый эффект получил название кулоновской блокады.

Рис. 6.15 Вольт-амперная характеристика квантовой точки, поясняющая эффект кулоновской блокады.

Очевидно продолжая этот процесс, т.е. вводя в точку новые электроны, мы получим ситуацию, показанную на рис. 6.16, когда значения протекающего через точку тока будут меняться скачком при значениях приложенного напряжения:

Отметим дополнительно, что на рис. 6.16 данные представлены в нормализованных координатах (по обеим осям) для того, чтобы выделить и подчеркнуть эффекты квантования тока и напряжения в описываемых структурах.

Рис. 6.16 Изменение электрической емкости квантовой точки в зависимости от напряжения в нормированных координатах.

Особо интересно отметить, что из полученных уравнений вытекает следующее нетривиальное условие: по мере уменьшения размеров квантовой точки (и соответствующего уменьшения величины С) возрастаетзначение энергии, необходимой для изменения числа электронов в квантовой яме. При этом изменение электрической энергии должно значительно превышать тепловую энергию kT рабочих температур, при которых осуществляются измерения параметров эффекта кулоновской блокады. Поэтому для значений емкости должно выполняться соотношение

, (6.23)

которое справедливо либо при очень малых значениях емкости точки (эту величину очень трудно сделать меньше 10^–16Ф), либо при очень низких температурах (обычно ниже 1К).

Кроме того, для наблюдения эффектов, связанных с поведением отдельных электронов, естественно, необходимо, чтобы их число в квантовой яме не флуктуировало в равновесном состоянии. Для оценки этого обстоятельства предположим, что время перехода в точку (или выхода из нее) имеет порядок , где – эквивалентное сопротивление барьера, а С – емкость точки. Флуктуации числа электронов внутри точки будут приводить к изменениям потенциальной энергии порядка , вследствие чего на основе принципа неопределенности можно выписать соотношение

, (6.24)

из которого и следует условие

(6.25)

возможности надежного наблюдения и регистрации эффектов кулоновской блокады в квантовых ямах.

В экспериментах с переносом отдельного электрона обычно измеряют ток, который пропорционален проводимости G, поэтому имеет смысл переписать полученное выше условие, используя именно параметр G, что дает

. (6.26)