Как показано выше, толщина слоя полупроводника, в котором существуют заряд и электрическое поле, характеризуется длиной экранирования LЭ. При наличии носителей заряда только одного знака, например электронов, длина экранирования может быть представлена в виде
(4.7.1)
Здесь LD-длина экранирования Дебая
D-коэффициент диффузии; - подвижность электронов.
В случае произвольного легирования соотношение Эйнштейна принимает вид
; (4.7.2)
здесь ξ=EF-EC- химический потенциал. Отсюда
.(4.7.3)
Таким образом, длина экранирования определяется скоростью изменения химического потенциала при изменении концентрации носителей заряда, экранирующих электрическое поле
Используя (3.2.1) и (4.7.2), для массивных кристаллов (3D-системы) получим
;(4.7.4)
здесь F j(η) -интеграл Ферми индекса j,
,
η =(EF-EC)/k0T.
аналогично из (4.7.3)
;(4.7.5)
здесь
-эффективная плотность состояний
Для невырожденного электронного газа, когда exp(ε-η)>>1, из (4.7.4) и (4.7.5)
и LЭ=LD. (4.7.6)
В случае сильного вырождения и низких температур, когда η>>1, ,из(4.7.4) и (4.7.5) получаем
(4.7.7)
. (4.7.8)
Для 2- систем, когда, например, тонкий слой узкозонного полупроводника выращен между слоями широкозонного, соотношение Эйнштейна принимает вид
(4.7.9)
Где εn =En/(k0T), En–энергия, соответствующая минимуму подзоны с номером n.
В отсутствии вырождения , когда , согласно(4.7.9)
Таким образом, в невырожденном случае, когда вероятность заполнения электронных состояний описывается распределением Максвелла-Больцмана, соотношения между коэффициентом диффузии и подвижностью в условиях термодинамического равновесия для двух- и трехмерного газа электронов совпадают.
При наличии вырождения и низких температурах, когда (η- εn)>>1 и граница Ферми располагается между минимумами первой (E1) и второй (E2) пленочных подзон,
. (4.7.10)
Таким образом, в вырожденном случае отношение (D/)2D будет расти с увеличением концентрации носителей заряда (как и в случае 3D-систем в соответствии с ростом EF (4.7.7)
Используя (3.2.11) и (4.7.10), можно показать, что при заполнении одной подзоны двумерная проводимость G будет связана с коэффициентом диффузии соотношением
(4.7.11)
По мере увеличения концентрации и приближения уровня Ферми к минимуму второй подзоны в (4.7.9) возрастает роль слагаемых с n>1. В момент, когда граница Ферми пересечет дно второй подзоны.
,
Т.е. произойдет уменьшение отношения (D/)2D, причем в пределе скачок достигнет величины
, (4.7.12)
которая для БПЯ зависит от толщины пленки W как W-2..
Сопоставляя (4.7.10) и (4.7.12), видим, что в момент пересечения границей Ферми второй квантовой подзоны значение (D/)2D при низких температурах может уменьшиться в два раза.
Рис. 4.19 Зависимость отношения от положения уровня Ферми ς в зоне проводимости GaAs.
Результаты численных расчетов отношения (D/)2Dдля слоя GaAs при W=20 нм приведены на рис. 4.19. видно, что аномальное поведение (D/)2Dв этом случае следует учитывать при температурах ниже 80 К и концентрации электронов 1018 см-3.
Рис. 4.19. Зависимость отношения (D/)2Dот положения уровня Ферми ξ в зоне проводимости GaAs [23]
Используя (3.2.11),(4.7.3) и длины экранирования в условиях одномерного ограничения (2D-системы) можно представить в виде
(4.7.13)
В отсутствии вырождения из (4.7.13) с учетом (3.2.3) получим
Т.е. в отсутствие вырождения выражение для длины экранирования LЭ(2D) совпадает с соответствующим выражением для LЭ(3D) массивных кристаллов.
При наличии вырождения и низких температурах, когда уровень Ферми находится между первой и второй пленочными и , (η- εn)>>1 ,из (4.7.13) получим
(4.7.14)
В предельном случае, когда Т0 и заполнены n0 подзон, из (4.7.13) с учетом (4.7.14) имеем
=; (4.7.15)
Здесь n0- номер высшей подзоны, дно которой пересек уровень Ферми.
На рис. 4.20 представлены результаты расчетов зависимости длины экранирования от заполнения зоны проводимости пленки GaAs приW=20 нм. Видно, что ступенчатый характер зависимости плотности состояний от энергии в КЯ обеспечивает неизменность длины экранирования при заполнении отдельной подзоны. По мере заполнения вышележащих подзон длина экранирования уменьшается. С понижением температуры эта зависимость приобретает ступенчатый характер.
Рис.4.20. Зависимость длины экранированияот положения уровня Ферми в зоне проводимости пленки GaAs[24].
Если концентрация электронов остается постоянной, то при изменении толщины пленки W значение n0 будет скачком изменяться, что вызовет осцилляции длины экранирования (рис.4.21.)
Рис. 4.21. Зависимость длины экранирования от толщины пленки при различной концентрации электронов; справа показаны значения отношения в объемном GaAs при
В свою очередь изменение длины экранирования может вызвать резкие изменения других характеристик материала пленки. Например, вариации толщины пленки , концентрации или температуры могут приводить к резким изменениям энергии связи экситона и экситонной полосы поглощения.
Квантование энергетического спектра влияет на экранирование электрических полей и в легированных свехрешетках (n-i-p-i-кристаллах). Особенности экранирования с учетом хвостов плотности состояний, возникающих в результате флуктуаций концентрации примесей, рассматривались в работах [25-27].
(4.7.1)
- подвижность электронов.
; (4.7.2)
.(4.7.3)
;(4.7.4)
,
;(4.7.5)
-эффективная плотность состояний
и LЭ=LD. (4.7.6)
(4.7.7)
. (4.7.8)
(4.7.9)
, согласно(4.7.9)
. (4.7.10)
)2D будет расти с увеличением концентрации носителей заряда (как и в случае 3D-систем в соответствии с ростом EF (4.7.7)
(4.7.11)
,
, (4.7.12)
от положения уровня Ферми ς в зоне проводимости GaAs.
(4.7.13)
(4.7.14)
0 и заполнены n0 подзон, из (4.7.13) с учетом (4.7.14) имеем
=
; (4.7.15)
