Из рис. 4.10 видно ,что носители заряда у поверхности располагаются в потенциальной яме. Одна граница этой ямы- поверхность, другая – слой обеднения. По мере увеличения изгиба зон поперечный размер такой потенциальной ямы позволяет говорить о возникновении размерного квантования. Такая квантовая приповерхностная яма обычно аппроксимируется треугольной потенциальной ямой, которая является вариантом прямоугольной потенциальной ямы (Рис. 4.11)
Рис. 4.11. Диаграмма энергетических уровней в треугольной и прямоугольной потенциальных ямах (вверху) и зависимость плотности состояний от энергии N(E) для этих случаев (внизу)
Движение носителей заряда в потенциальной яме является хорошо известнойΨ задачей в волновой механике для твердого тела.
Выше говорилось, что построение зависимости поверхностного потенциала от расстояния вглубь образца основывается на решении уравнения Пуассона. Для его решения необходимо знать распределение поверхностного заряда перпендикулярно к поверхности (z).
Для отыскания такого распределения в квантово-механическом случае необходимо знать вид волновой функции электрона в инверсионном слое в условиях размерного квантования. В приближении эффективной массы волновая функция Ψ описывается уравнением Шредингера
(T-q V(z))Ψ(x,y,z)=EΨ(x,y,z) , (4.6.1)
Где Т – оператор кинетической энергии, а Е – энергия электрона. Потенциал V(z) находиться из уравнения Пуассона и обычно является функцией расстояния z.
Волновая функция записывается в обычном виде
(4.6.2)
где kx и ky -квазиимпульсы в соответствующих направлениях, а-величина, зависящая от этих квазиимпульсов [12].
Уравнение Шредингера можно разделить на два уравнения. Первое из них описывает одномерное движение в направлении z и имеет вид
(4.6.3)
Причем для z=0 и z=∞ ξ(z)=0.
Второе уравнение описывает двумерное движение вдоль поверхности
(4.6.4)
Каждое собственное значение Ei находится из решения уравнения и представляет собой дно i–й подзоны с энергией
, 0, 1, 2… (4.6.5)
Хотя массы в этом уравнении только в исключительных случаях совпадают с таковыми в объеме, использование последних в расчете поверхностных квантово-размерных структур приводит к очень небольшим ошибкам.
Если перейти к обычному представлению разрешенных состояний в виде зависимостей E(k), то получим ряд парабол, каждая из которых начинается в минимуме энергии (0), i =0,1,2…
Для направлений x,y-непрерывные параболы, а для направления z (перпендикулярно к поверхности) получаем только точки разрешенных состояний (рис. 4.12)[15].
Рис. 4.12. Вид энергетических подзон вдоль основных направлений в кристалле [15]
Двумерная плотность состояний на единицу поверхности D(E) для одной подзоны без учета вырождения по спину согласно (3.1.14б) имеет вид
(4.6.6)
Эта плотность состояний не зависит от энергии (в отличие от объема). Теперь достаточно просто рассчитать поверхностную концентрацию электронов в i–й подзоне. Согласно (3.2.3.)
(4.6.7)
Необходимо отметить, плотность состояний и соответственно концентрация электронов будут зависеть от ориентации поверхности кристалла. Это легко понять из рис. 4.13, где представлены изображение и расположение поверхностей постоянной энергии для различных полупроводников.
Рис.4.13. Форма и расположение изоэнергетических поверхностей в Ge, Si, GaAs [16]
Видно, что эти поверхности представляют собой для Ge восемь эллипсоидов, вытянутых вдоль осей [111], для Si имеется шесть эллипсоидов вытянутых вдоль осей [100], для GaAs-поверхности постоянной энергии сферы с центром в центре зоны Брюллюэна. Ясно, что эффективная масса для различных направлений будет различна, а следовательно, будут меняться плотность состояний в подзоне и концентрация электронов.
Рис. 4.14. плотность пространственного заряда, рассчитанная для случая отсутсвия квантования (классический случай – кривая 1) и при его наличии для двух ориентаций поверхности (кривые 2,2)
Это хорошо видно на рис. 4.14, где приведены взятые из [14] результаты расчета концентрации электронов n для классического случая и при поперечном квантовании энергетического спектра.Так как в случае инверсии именно они определяют величину ОПЗ, то, следовательно, представлено и пространственное распределение зарядовой плотности в поверхностной области кристалла. Плотность электронов в инверсионном слое в зависимости от координаты рассчитывается по следующей формуле:
(4.6.8)
Выражение для плотности заряда от координаты имеет вид
(4.6.9)
Из рисунка видно, что расчет проводился для температуры жидкого гелия. Это важно отметить, что расщепление сплошного спектра на локальные уровни будет иметь существенное значение только, если расстояние между уровнями превышает размытие (уширение) последних, связанное с теплом или рассеянием. Используя понятие времени релаксации с учетом всех возможных механизмов рассеяния, это условие можно записать в виде
(4.6.10)
В качестве иллюстрации приведем результаты расчета системы квантовых уровней, полученных в [12] в зависимости от индуцированного заряда (рис.4.15).
Рис.4.15. Зависимость энергии квантования уровней от полной плотности индуцированного заряда
Из рис.4.15 легко понять возникновение уровней с обозначениями E1 и E1 (E0 и E0). В направлении эффективная масса имеет два значения. Первое соответствует направлению вдоль большой оси эллипса, второе – вдоль малой. Следовательно, имеются как бы две группы электронов с «легкими» и «тяжелыми» массами квантования. Это и приводит к хорошо видимому на рисунке чередованию подзон квантования.
Интересно отметить, что в случае германия, где коэффициент анизотропии K=m/m равен 20 (для кремния 5), для (111) поверхности первые три ползоны для электронов с тяжелой массой (рис.4.16) лежат ниже первой подзоны для электронов с легкой массой.
Рис.4.16. Поверхности постоянной энергии ( фрагмент) для (111) поверхности Ge ,объясняющие возникновение двух типов подзон квантования.
В тоже время плотность состояний, определяемая эффективными массами вдоль поверхности с «легкой» массой квантования, значительно выше. Такое соотношение масс приводит к парадоксальному результату – заполнение вышележащих уровней оказывается больше, чем нижележащих. Это хорошо видно на рис.4.17, взятом из [16], где впервые был проведен такой расчет для инверсионных слоев на германии.
Рис.4.17. Энергетическая диаграмма ОПЗ с указанием заселенности квантовых подзон для ориентации поверхностей (111) (а) и (100) (б); штриховые линии – положения квантовых подзон для электронов с более легкой массой квантования; цифры – процентный вклад заполнения данного уравнения в общею плотность заряда
В дальнейшем было установлено, что время релаксации сильно зависит от среднего расстояния центра симметрии электронной плотности для различных подзон, что позволило объяснить ряд экспериментов, посвященных приповерхностным явлениям переноса (холл-фактора [17] и магнетосопротивления [18] в инверсионных каналах –типа на германии.
Необходимо отметить, что большой класс транспортных явлений в МДП- структурах был правильно объяснен только после разработки описанной выше квантово-механической модели. Также показано, что эти эффекты следует учитывать для случая сильной инверсии даже пре комнатной температуре.
Эксперимент по обнаружению размерного квантования в тонких пленках висмута впервые был выполнен в нашей стране [19,20]. В этих работах однозначно показана осцилляционная зависимость проводимости, а также постоянной Холла и магнетосопротивления от толщины пленки (рис.4.18).
Рис. 4.18. Зависимость магнетосопротивления, холловской подвижности, постоянной Холла и нормализованного сопротивления от толщины пленки висмута при различный температурах [19]
Суть явления заключается в том что в пленках, толщина которых сравнима с длиной волны электрона, при изменении толщины энергетическое положение уровней размерного квантования меняется. Электронные свойства металлов и вырожденных полупроводников определяются электронами, близкими по энергии к уровню Ферми. Значит, на всех зависимостях кинетических коэффициентов от толщины должны наблюдаться экстремумы при прохождении квантовых уровней через уровень Ферми, что и наблюдается в эксперименте. Теория этих явлений сформулирована в [21],в русскоязычной литературе этому вопросу посвящен обзор [22].
(z).
(4.6.2)
-величина, зависящая от этих квазиимпульсов [12].
(4.6.3)
(4.6.4)
, 0, 1, 2… (4.6.5)
(0), i =0,1,2…
(4.6.6)
(4.6.7)
(4.6.8)
(4.6.9)
(4.6.10)
