Определение зависимости потенциала в области пространственного заряда от координаты

При рассмотрении различных характерных изгибов зон отмечалось, что в явно выраженных слоях обогащения, обеднения или инверсии заряд в ОПЗ определяется только одним преимущественным источником заряда. Это позволяет в указанных частных случаях произвести определенную аппроксимацию функции F(Y,λ) и определить с достаточной для практических расчетов точностью приближенный вид функции Y(z).

Эти приближенные расчеты проведем для полупроводника с явно выраженным электронным типом проводимости в объеме. Это означает, что λ= p₀/n_i= λ=n_i/n_0, так как n₀ n_i .соответственно согласно (4.19) λ^-1

Рассмотрим приближение для случаев обогащения, обеднения и инверсии.

Обогащение. Обогащение для полупроводника с электронным типом проводимости наступает при положительных изгибах зон (Вниз!), т.е. при Y_s >0. Сильное или явно выраженное обогащение наступает при Y_s>3.

С учетом того, что λ^-1λ, >>1, функция F(Y,λ) принимает вид

. (4.5.1)

Первый интеграл уравнения Пуассона приводит к виду

(4.5.2)

Решение этого интеграла

z/L_эфф =2λ^1/2(e^-Y/2-e^Ys/2)

или

Z/L_эфф = (e^-Y/2-e^Ys/2) (4.5.3)

где ,определяет эффективную длину экранирования, куда вместо собственной концентрации n_i входит концентрация основных для данного полупроводника носителей – электронов n₀. Согласно полученному выражению электростатический потенциал в слоях обогащения быстро уменьшается с расстоянием глубь полупроводника, так что основная часть заряда в приповерхностной области сосредоточена в тонком слое. Толщину этого слоя можно охарактеризовать эффективной длиной экранирования.

Полученная зависимость представляет собой экспоненциальный спад Y от значений Y>>1 до Y=0 при значении z=0,41L_эфф (рис.4.9.)

Рис. 4.9. Зависимость поверхностного потенциала от расстояния в ОПЗ для случая обогащения образца электронного типа проводимости

Обеднение (истощение). Ранее показано, что при обеднении в приповерхностной ОПЗ концентрации как основных, так и неосновных носителей заряда играет неподвижный заряд ионизированных доноров и акцепторов. Можно ожидать, что в этом случае изменение потенциала с расстоянием вглубь от поверхности будет медленным ,а толщина слоя ОПЗ – относительно большой.

Это связано с тем, что увеличение заряда может происходить только при увеличении толщины слоя. Поскольку в соответствии с условиями обеднения основных носителей в ОПЗ уже мало, а неосновных – еще мало, можно с большой точностью записать n_s=p_s=n_i . Кроме того рассматривая явно выраженный электронный тип проводимости, считать λ<<1, λ^-1>>1, e^Y<<1, так как Y<0. Отмеченные условия позволяют пренебречь обоими членами, содержащими экспоненты, и привести выражение для F к виду

^, (4.5.4)

Если теперь пренебречь единицей в подкоренном выражении и подставить его в (4.4.9), то, решив полученный интеграл , имеем зависимость Y(z) в виде

(4.5.5)

Где

Если положить Y=0 (объем полупроводника), то получим выражение для расстояния от поверхности где достигается это значение потенциала

(4.5.6)

Теперь, используя полученную формулу, выражение (4.5.5) можно переписать в виде

(4.5.7)

Из (4.5.7) следует , что потенциал зависит от координаты по параболическому закону. Этот вид изменения потенциала с расстоянием в пределах слоя обеднения присутствовал еще в первых теориях выпрямления «металл-полупроводник» и имеет общепринятое название- барьер Шоттки. Наиболее полные и написанные в традиционно классическом виде сведения о барьерах и ОПЗ, появляющихся при контакте металла с полупроводником, можно найти в [9.10]

Инверсия. Как было отмечено выше, инверсия в приповерхностном слое полупроводника характеризуется тем, что основная составляющая заряда ОПЗ формируется неосновными относительно объема носителями заряда. Для рассматриваемого образца с электронным типом проводимости это будут дырки. Это означает, что в выражении для F(Y,λ) можно пренебречь всеми членами, кроме экспоненциального, описывающего вклад неосновных носителей заряда- дырок

. (4.5.8)

Решение второго интеграла Пуассона принимает вид

(4.5.9)

Так же как остальные параметры ОПЗ, эффективная длина экранирования определяется для слоя инверсии не основными для данного образца полупроводника носителями заряда. Вся область пространственного заряда состоит из собственно инверсного слоя и следующего за ним слоя обеднения. Как видно из рис.4.10, инверсионный слой ,обогащенный неосновными носителями (дырками), много тоньше слоя обеднения и, соответственно, падение напряжения на первом слое много меньше.

В то же время необходимо всегда иметь в виду, что практически весь положительный объемный заряд сосредоточен именно в инверсном слое.

Рис. 4.10. Распределение потенциала в инверсионном слое