Решение уравнения Пуассона

Когда поверхностная концентрация неосновных носителей заряда на поверхности становится больше, чем концентрация основных носителей в объеме, наступает состояние инверсии.

В при поверхностной области меняется (инвертируется ) знак заряда преобладающего типа носителей. Изгиб зон при этом называется инверсионным. Значение поверхностного электростатического потенциала легко определить из приведенного выше условия начала инверсии,

p_s= n₀. (4.3.2)

если вспомнить , что n_o=n_i exp(E_F), p_o=n_i exp(-E_F) и E_F=ln λ, получим значение изгиба зон (значение электростатического потенциала), с которого начинает инверсия,

Y_s=2ln λ (4.3.3)

Рис.4.8. Энергетическая диаграмма поверхности полупроводника n-типа, соответствующая инверсии

Начиная с этих изгибов, вся основная часть неосновных носителей заряда сосредоточена в тонком слое между поверхностью и плоскостью, за которой расположен слой обеднения

Эта плоскость проходит через точку (z_i) на которой величина поверхностного электростатического потенциала равна 2lnλ. Из рис.4.8 видно, что слой обеднения много толще инверсионного слоя. Для последующего очень важно отметить, что после достижения изгибов зон, соответствующих сильной инверсии, толщина слоя обеднения перестает менять свою величину. Все изменение экранирующего заряда происходит за счет увеличения концентрации неосновных носителей заряда между поверхностью и плоскостью z_i

Толщина слоя инверсии хотя и возрастает, но все равно всегда много меньше толщины слоя обеднения.

Уравнение Пуассона с использованием понятия безразмерного электростатического потенциала выше записано в виде

Выражение для плотности заряда в ОПЗ –ρ(Z), входящее в это уравнение, с использованием формул (4.2.7) можно представить как

. (4.4.1)

Уже в этом выражении для удобства вместо Y(z) стоит просто Y.

Когда будет необходимо подчеркнуть текущую координату или поверхностное значение параметра Y, это будет специально отмечено.

Если использовать еще понятие уровня легирования λ, введенное ранее, то уравнение Пуассона примет вид

, (4.4.2)

где

(4.4.3)

Выражение (4.4.3) по виду совпадает с выражением для длины экранирования Дебая. Это понятие возникает из следующих физических соображений.

Если источник электрического поля (заряженная частица, тело, плоскость) окружен средой, содержащей положительные и отрицательные заряды, то вследствие поляризации среды электрическое поле источника на расстояниях, превышающих некоторую величину, становится очень малым. Иначе говоря ,поле «экранируется». Именно это расстояние, на котором, поле уменьшается так, что его влиянием можно пренебречь, называется длиной экранирования Дебая. Это расстояние тем больше, чем больше диэлектрическая проницаемость ε_s среды, и тем меньше, чем больше зарядов в этой среде. Известно, что в металле приблизительно 10²² см^-3 электронов. Если сравнивать характерную для металлов длину Дебая с полупроводником с концентрацией электронов 10¹⁵см^-3, то отношение L_d для этих двух материалов без учета разницы в ε_s будет равно 3*10³.

Другими словами, любое поле в металле будет экранироваться на длинах, много меньших, чем в полупроводниках, что и обусловливает изготовление экранов от электромагнитных и электростатических полей из металлов с высокой проводимостью.

Первое интегрирование уравнения Пуассона проводится при таких граничных условиях, что безразмерный поверхностный электростатический потенциал и его первая производная стремятся к нулю при z(т.е. в объеме полупроводника)

(4.4.4)

Первый интеграл при этих условиях получим в виде

(4.4.5)

где

(4.4.6)

Перед квадратными скобками стоят два знака –плюс и минус.

Выбор знака перед корнем определяется неравенствами

F>0 при Y<0

F<0 при Y>0 (4.4.7)

Такой выбор знаков связан с тем, что при отрицательных изгибах зон (Y<0) величина Y(z) возрастает от больших отрицательных величин к нулю, а при Y>0 убывает от положительных величин к нулю.

Рассмотрим теперь смысловую нагрузку каждого из членов введенной функции F(Y(z),λ). Первый член в скобках с учетом расшифровки λ имеет вид (p₀/n_i)(e^-^Y-1).

Если учесть , p₀e^-^Y⁽^z⁾=p(z), то ясно –первый член отражает вклад дырок в формирование заряда в ОПЗ. Точно такой ход рассуждений приведет к выводу, что второй член ответствен за вклад заряда электронов в ОПЗ.

В последнем члене отсутствуют экспоненциальные составляющие, отражающие склад подвижных носителей заряда в ОПЗ. Но зато есть λ= p₀/n_i , λ=n_i/n₀,что в свою очередь отражает вклад ионизированных доноров и акцепторов при условии их полной ионизации и однозарядности.

Полученное в результате первого интегрирования выражение соответствует понятию электрического поля (Y-потенциал,z-расстояние). Но Y это безразмерный потенциал в единица k₀T/q. Следовательно, для того чтобы получить величину электрического поля в вольтах на сантиметр, необходимо результат первого интегрирования уравнения Пуассона умножить на величину k₀T/q

(4.4.8)

Иначе говоря, полученная величина с точностью до множителя k₀T/q определяет напряженность электрического поля в области пространственного заряда при каждом значении Y(z).

Для того чтобы определить вид зависимости Y(z) ,необходимо еще раз проинтегрировать уравнение Пуассона. Решению в этом случае подлежит интеграл вида

. (4.4.9)

Как видно из (4.4.9) , функция F(Y,λ) содержит как линейные, так и экспоненциальные члены по Y , и поэтому интеграл в общем случае не берется. В то же время искомый интеграл необходим при расчете поверхностной проводимости, поверхностной емкости, фото ЭДС, характеристик МДП-транзисторов и т.д. выход из этого положения находят в численных расчетах F(Y,λ), . наиболее удобно пользоваться таблицами таких величин, вычисленных в широком диапазоне Y и опубликованных в книге Г. Пикуса.[8]