Величина qV(z) соответствует изменению потенциальной энергии положительного заряда в ОПЗ относительно значения этой энергии в объеме полупроводника (при z, стремящемся к бесконечности).
УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА
Распределение индуцированного заряда в слое некоторой толщины означает, что потенциал в полупроводнике плавно затухает от некоторого значения на поверхности до нулевого значения за пределами ОПЗ. Величина распределенного объемного заряда ρ(z) и потенциал электростатического поля в нем V(z) взаимно однозначносвязаны между собой уравнением Пуассона
, (4.2.1)
где ε0– диэлектрическая проницаемость вакуума;
εs- диэлектрическая проницаемость полупроводника.
На величину qV(z) ОПЗ смещается все энергетические уровни, которые существовали в полупроводнике в данной точке z при отсутствии индуцированного заряда.
Если выразить изменение потенциальной энергии в единицах k0T и ввести обозначение Y(z)=qV(z)/( k0T), то уравнение Пуассона примет вид
(4.2.2)
Как известно, при определенных граничных условиях решением этого уравнения является некоторая функция Y(z), затухающая вглубь полупроводника. На величину этой функции смещаются все безразмерные (в единицах k0T) энергетические уровни относительно своих безразмерных значений до возникновения ОПЗ. Эта же величина определяет безразмерный изгиб энергетических зон в каждой точке z.
Величина Y(z) носит название безразмерного поверхностного электростатического потенциала.
Расстояние от середины запрещенной зоны до уровня Ферми обозначается буквой ϕ, а его значение на поверхности -ϕs. В отличие от безразмерного электростатического потенциала ϕs носит название поверхностного потенциала. Вообще в научной литературе по полупроводникам индекс sпринят для обозначения величины, относящейся к поверхности, так как s - первая буква английского слова «surface».
В соответствии с плавным затуханием потенциала плавно изменяется положение всех уровней относительно уровня Ферми, который, как известно, является мерой средней энергии носителей заряда по всему кристаллу и поэтому остается неизменным вплоть до границы кристалла (поверхности) при z=0.
На рис.4.3 приведена энергетическая диаграмма ОПЗ. Значение безразмерного электростатического потенциала на поверхности обозначается Ys. Знак для этой величины в соответствии с принятым направлением отсчета энергии будет положительным для изгибов зон вниз и отрицательным для изгибов вверх.
Рис.4.3 . Энергетическая диаграмма области пространственного заряда полупроводника электронного типа проводимости для некоторого произвольного значения поверхностного электростатического потенциала
Из рисунка хорошо видно, что при наличии изгиба зон значение энергии Ферми становится функцией координатыz. Отсюда понятно, что для любой точки (или сечения параллельного поверхности) ОПЗ в соответствии с законами статистики выражение для равновесных концентраций можно записать в виде
n (z)=ni exp[EF(z)], p(z)=ni exp[-EF(z)]. (4.2.3)
Из общих соображений и рассмотрения энергетической диаграммы на рис.4.3 видно, энергия Ферми в каждой точке определяется разностью изгиба зон Ysи энергии Ферми в объеме
EF(z)=EF-Y(z) (4.2.4)
Для поверхности
EFs=EF-Ys (4.2.5)
Это позволяет нам записать
ns=ni exp(EF)expYs,
ps=ni exp(EF)exp(-Ys). (4.2.6)
Используя формулы (4.1.7), получим
ns=no exp(Ys), ps=p0exp(-Ys). (4.2.7)
Остановимся кратко на знаках введенных EFsи Ys . Знак безразмерного электростатического потенциала будет отрицательным при изгибе зон вверх и положительным при изгибе вниз. EFs, а также и Ys .будут иметь отрицательный знак, если уровень Ферми находится на энергетической диаграмме ы нижней половине запрещенной зоны, и наоборот.
Соотношения (4.2.7) фактически отражают использование для определения поверхностных концентраций nsи ps статистика Максвела-Больцмана. Ранее уже отмечалось, что очень близко к разрешенной зоне. Фактор близости определяется соотношением между единицей экспонентой в знаменателе формулы (4.1.1). Если показать показатель экспоненты больше 3, то экспонента на порядок превышает единицу- переход к статистике Больцмана. В противном случае имеет место вырождение и необходимо пользоваться статистикой Ферми.
Для поверхности это означает, что будут рассматриваться такие изгибы зон, при которых уровень Ферми на поверхности не приближается к краям разрешенных зон ближе чем на 2-3 k0T.
Предельные изгибы представлены на графиках рис.4.4
Рассмотрим различные виды ОПЗ, возникающие на границах раздела, сначала качественно, еще до решения уравнения Пуассона. В качестве примера выберем формирование поверхностной ОПЗ для полупроводника с достаточно сильно выраженным n-типом проводимости. Это означает, что для него выполняется неравенство EF=lnλ>3.
1. Плоские зоны.Эта ситуация изображается на энергетической диаграмме с прямыми зонами вплоть до поверхности (рис.4.5). Положение уровня Ферми на поверхности совпадает с таковым в объеме. Область пространственного заряда не образуется: ρ(z)=0
2. Обогащение. Необходимо отметить, что этот и все последующие термины относятся к изменению концентрации основных носителей заряда. Например, в рассматриваемом случае ясно, что обогащение означает увеличение концентрации основных носителей в поверхностной ОПЗ. Эта область «обогатилась» основными носителями заряда-n(z)>n0. Для выбранного в качестве примера электронного полупроводника это означает, что уровень Ферми на поверхности и во всей области пространственного заряда располагается ближе к зоне проводимости, чем в объеме. Все это соответствует изгибу зон вниз. В выбранной систем е отсчета этому соответствует положительное значение поверхностного электростатического потенциала-Ys >0 (рис.4.6).
Рис.4.6. Энергетическая диаграмма поверхности полупроводника n-типа, соответствующая случаю обогащения ns>n0
Если поверхностная концентрация ns не слишком велика по сравнению с n0, то это слабое обогащение. Ему соответствуют изгибы зон Ys
При Ys>3 наступает сильное обогащение, когда ns>>n0. Понятно, что при обогащении концентрация дырок в области пространственного заряда меньше, чем в объеме, так как при равновесии всегда np=ni2.
3. Обеднение. В соответствии с принятым выше определением это состояние должно означать, что концентрация электронов в ОПЗ меньше, чем в объеме n(z)<n0. Это возможно в полупроводнике электронного типа при отрицательных изгибах зон (Ys <0). В этой области, естественно, будет очень мало дырок, так как уровень Ферми находится в верхней половине запрещенной зоны (рис.4.7.)
Рис.4.7. Энергетическая диаграмма поверхности полупроводника n-типа, соответствующая обеднению
При дальнейшем увеличении изгиба зон наступает момент, когда концентрациями и электронов, дырок можно пренебречь по сравнению с концентрацией ионизированных доноров. Следовательно, эти неподвижные доноры и формируют основную часть поверхностного заряда. Уровень Ферми на поверхности совпадает с серединой запрещенной зоны на поверхности Ys=lnλ . Электроны как бы отодвигаются в объем на определенную глубину W, ограничивающую явно выраженный слой обеднения (рис.4.7).
Соотношения объемных и поверхностных концентраций при этом
ns=ps=ni,, ns<<n0, ps>p0. (4.3.1)
4. Инверсия. По мере увеличения отрицательного изгиба зон концентрация электронов продолжает падать, а концентрация дырок растет. Этот процесс сильно ускоряется после перехода уровня Ферми ниже середины запрещенной зоны на поверхности (рис.4.8)
, (4.2.1)
(4.2.2)
